Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Caro Luís,
Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se
acha um pouco de tempo para um probleminha desses.
Eu resolvi assim:
Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC
tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede
para determinarmos a reta suporte do lado AB
passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c.
Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a
mesma letra C para denotar duas coisas distintas
(o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto
deixa claro do que estamos falando.
Pela lei dos senos no triângulo ABC:
(1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta)
(2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta)
Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar
uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema:
(3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b
(4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a
= (transformação em produto)
(5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab)
(6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab)
=
(7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab)
(8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab)
= (relação trigonométrica fundamental)
(9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2
=
(10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | )
Ou seja, basta você construir no braço a expressão acima para determinar
o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza,
um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma
construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um
pouco mais simples.
Abraço,
sergio
Sauda,c~oes,
Aqui CD_c = d_c é o comprimento da bissetriz interna de C.
Há muitas maneiras de se construir um triângulo com
estes dados.
Folheando um livro do Virgilio encontrei uma outra.
Bem, quase.
Sejam os círculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a).
Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela.
Até aqui é a sugestão do Virgilio.
Agora o problema aparece: construir uma reta p
passando por D_c tal que se p intersecta phi_1
e phi_2 em A e B, respectivamente, então
AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes).
Como fazer?
[]'s
Luís
_
Sergio Lima Netto
PEE-COPPE/DEL-Poli/UFRJ
POBox 68504, Rio de Janeiro, RJ
21941-972, BRAZIL
(+55 21) 2562-8164
--
This message has been scanned for viruses and
dangerous content by MailScanner, and is
believed to be clean.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
RE: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Sauda,c~oes,
Oi Sergio,
Essa sua solução (confesso que não me detive nela)
não segue o espírito das construções geométricas.
Pode no máximo mostrar que o problema possui uma
solução geométrica.
Conheço muitas construções elegantes com estes dados.
Pensei ontem e consegui a construção sugerida no Virgilio.
Repito o início da construção:
Sejam os círculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a).
Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela.
Até aqui é a sugestão do Virgilio.
Agora o problema aparece: construir uma reta p
passando por D_c tal que se p intersecta phi_1
e phi_2 em A e B, respectivamente, então
AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes).
Ou seja, o ponto B possui duas propriedades:
1) pertence a phi_2;
2) é a imagem de A pela homotetia inversa de centro D_c
e razão a/b. Como A pertence a phi_1, então B pertence
ao círculo phi'_1, transformado de phi_1 pela mesma homotetia.
Descrever a constução de phi'_1 é um pouco longo e complicado
sem uma figura. O livro do Wagner mostra como fazer na página 83.
Ache B como interseção de phi_2 e phi'_1. A reta (B,D_c) é a reta
p pedida.
[]'s
Luís
From: sergi...@lps.ufrj.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Date: Wed, 3 Jun 2009 10:32:57 -0200
Caro Luís,
Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se
acha um pouco de tempo para um probleminha desses.
Eu resolvi assim:
Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC
tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede
para determinarmos a reta suporte do lado AB
passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c.
Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a
mesma letra C para denotar duas coisas distintas
(o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto
deixa claro do que estamos falando.
Pela lei dos senos no triângulo ABC:
(1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta)
(2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta)
Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar
uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema:
(3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b
(4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a
= (transformação em produto)
(5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab)
(6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab)
=
(7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab)
(8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab)
= (relação trigonométrica fundamental)
(9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2
=
(10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | )
Ou seja, basta você construir no braço a expressão acima para determinar
o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza,
um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma
construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um
pouco mais simples.
Abraço,
sergio
_
Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é grátis!
http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
Re: RE: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Em 03/06/2009 19:24, LuÃs Lopes qed_te...@hotmail.com escreveu:
.hmmessage P { margin:0px; padding:0px } body.hmmessage { font-size: 10pt; font-family:Verdana }
Sauda,c~oes, Oi Sergio,  Essa sua solução (confesso que não me detive nela) não segue o espÃrito das construções geométricas. Pode no máximo mostrar que o problema possui uma solução geométrica.  Conheço muitas construções elegantes com estes dados. Pensei ontem e consegui a construção sugerida no Virgilio.  Repito o inÃcio da construção:  Sejam os cÃrculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a). Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela. Até aqui é a sugestão do Virgilio. Agora o problema aparece: construir uma reta
 passando por D_c tal que se
intersecta phi_1 e phi_2 em A e B, respectivamente, então AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes). Ou seja, o ponto B possui duas propriedades:  1) pertence a phi_2;  2) é a imagem de A pela homotetia inversa de centro D_c e razão a/b. Como A pertence a phi_1, então B pertence ao cÃrculo phi'_1, transformado de phi_1 pela mesma homotetia.  Descrever a constução de phi'_1 é um pouco longo e complicado sem uma figura. O livro do Wagner mostra como fazer na página 83.  Ache B como interseção de phi_2 e phi'_1. A reta (B,D_c) é a reta
pedida.  []'s LuÃs    From: sergi...@lps.ufrj.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c Date: Wed, 3 Jun 2009 10:32:57 -0200 Caro LuÃs, Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se acha um pouco de tempo para um probleminha desses. Eu resolvi assim: Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede para determinarmos a reta suporte do lado AB passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c. Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a mesma letra C para denotar duas coisas distintas (o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto deixa claro do que estamos falando
. Pela lei dos senos no triângulo ABC: (1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta) (2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta) Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema: (3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b (4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a = (transformação em produto) (5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab) (6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab) = (7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab) (8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab)= (relação trigonométrica fundamental) (9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_
c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2 = (10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | ) Ou seja, "basta" você construir no braço a expressão acima para determinar o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza, um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um pouco mais simples. Abraço, sergio
Instale o novo Internet Explorer 8 otimizado para o MSN. Download aqui
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Em 02/06/2009 10:09, LuÃs Lopes qed_te...@hotmail.com escreveu:
.hmmessage P { margin:0px; padding:0px } body.hmmessage { font-size: 10pt; font-family:Verdana }
Sauda,c~oes,  Aqui CD_c = d_c é o comprimento da bissetriz interna de C. Há muitas maneiras de se construir um triângulo com estes dados.  Folheando um livro do Virgilio encontrei uma outra. Bem, quase.  Sejam os cÃrculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a). Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela. Até aqui é a sugestão do Virgilio.  Agora o problema aparece: construir uma reta
passando por D_c tal que se
intersecta phi_1 e phi_2 em A e B, respectivamente, então  AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes). Como fazer?  []'s LuÃs Â
Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui!
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
