[obm-l] Conjunto denso em R
Em agosto/setembro de 2003 um assunto deste tipo foi discutido aqui (motivado
pelo sumido Claudio Buffara). Eu apresentei uma prova, baseada no principio da
casa dos pombos, de que, se p eh irracional, entao o conjunto A = {m*p + n | m
e n sao inteiros} eh denso em R.
Estou agora querendo provar que, novamente para p irracional, B = {m*p +n | m
eh inteiro, n eh inteiro positivo} tambem eh denso em R. Talvez haja uma
solucao simples, baseada na conclusao anterior, mas ainda nao consegui nenhuma
prova. Alguem pode dar uma sugestao?
Abracos
Artur
Re:[obm-l] Conjunto denso em R
Bem legal esta prova!
Interessante que com este problema me ocorreu uma prova para um fato que foi
discutido aqui hah uns 3 meses: se uma funca nao constante f for continua
periodica em R, entao g(x) = f(x^2) nao eh periodica.
Suponhamos, para facilitar, que o periodo de f seja 1 e admitamos que g seja
periodica com periodo fundamental p>0. Para todo inteiro positivo n, temos
que g(raiz(n)) = f(n) = f(0). Para todo inteiro m, temos entao que g(raiz(n)
+ m*p) = g(raiz(n)) = g(0). Como o conjunto {raiz(n) + m*p} eh denso em R e
g eh continua, concluimos que g(x+ = g(0) para todo real x, de modo que g eh
constante. Logo, f tambem eh constante, contraiamente aa hipotese.
Se o periodo de f for t<>1, entao f(T*x) tem periodo 1, e como T eh
arbitrario, chegamos aa mesma conclusao.
Artur
- Mensagem Original
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l"
Assunto: Re:[obm-l] Conjunto denso em R
Data: 28/12/04 16:05
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Tue, 28 Dec 2004 12:22:40 -0200
Assunto:[obm-l] Conjunto denso em R
> Um problrma que me pareceu interessante: mostre que, para todo real p<>0,
o
> conjunto A = {raiz(n) + m*p | n>=0 e m sao inteiros} eh denso em R.
> Artur
>
Se p for irracional, recairemos num resultado que jah foi muito discutido
aqui na lista.
Pra mim, o interessante eh o caso p = 1, que mostra que {raiz(n)} = parte
fracionaria de raiz(n) eh densa em [0,1], um fato que eu desconhecia, mas
que nao me parece tao absurdo assim.
Sabemos que x(n) = raiz(n) - raiz(n-1) -> 0 quando n -> infinito
Mas raiz(n) - raiz(n-1) = {raiz(n)} - {raiz(n-1)} + [raiz(n)] - [raiz(n-1)].
Tomando a subsequencia x(n^2), teremos:
x(n^2) = 1 - {raiz(n^2-1)} -> 0 quando n -> infinito.
Ou seja, a sequencia {raiz(n^2-1)} -> 1 quando n -> infinito.
Por outro lado, x(n^2+1) = {raiz(n^2+1)} -> 0 quando n -> infinito.
Ou seja, 0 e 1 sao valores de aderencia da sequencia {raiz(n)}.
Um pouco de reflexao e esforco mental (no banheiro) me fez pensar na
sequencia:
y(n) = raiz(n^2 + 2*a*n) - n.
Nao eh dificil ver que y(n) -> a quando n -> infinito.
Alem disso, podemos escrever:
y(n) = {raiz(n^2 + 2*a*n)} + [raiz(n^2 + 2*a*n)] - n
Suponhamos que a seja um racional de (0,1], ou seja, a = p/q onde p e q sao
inteiros positivos e p <= q.
Nesse caso, n^2 + 2*a*n = n^2 + 2*(p/q)*n eh inteiro sempre que n for um
multiplo de q e [raiz(n^2 + 2*a*n)] = n. Portanto, concluimos que:
y(q*n) = {raiz(q^2*n^2 + 2*p*n)} -> p/q quando n -> infinito.
Ou seja, todo racional de [0,1] eh valor de aderencia de {raiz(n)}.
Agora, tome um intervalo qualquer I de [0,1]. Sabemos que I contem, em seu
interior, algum racional e que este racional eh limite de alguma
subsequencia de {raiz(n)}. Logo, I conterah todos os termos desta
subsequencia com indices suficientemente grandes, ou seja, {raiz(n)} eh
densa em [0,1].
***
Com pequenas adaptacoes, o argumento acima resolve o problema original
proposto pelo Artur.
[]s,
Claudio.
OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re:[obm-l] Conjunto denso em R
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Tue, 28 Dec 2004 12:22:40 -0200
Assunto:
[obm-l] Conjunto denso em R
> Um problrma que me pareceu interessante: mostre que, para todo real p<>0, o
> conjunto A = {raiz(n) + m*p | n>=0 e m sao inteiros} eh denso em R.
> Artur
>
Se p for irracional, recairemos num resultado que jah foi muito discutido aqui na lista.
Pra mim, o interessante eh o caso p = 1, que mostra que {raiz(n)} = parte fracionaria de raiz(n) eh densa em [0,1], um fato que eu desconhecia, mas que nao me parece tao absurdo assim.
Sabemos que x(n) = raiz(n) - raiz(n-1) -> 0 quando n -> infinito
Mas raiz(n) - raiz(n-1) = {raiz(n)} - {raiz(n-1)} + [raiz(n)] - [raiz(n-1)].
Tomando a subsequencia x(n^2), teremos:
x(n^2) = 1 - {raiz(n^2-1)} -> 0 quando n -> infinito.
Ou seja, a sequencia {raiz(n^2-1)} -> 1 quando n -> infinito.
Por outro lado, x(n^2+1) = {raiz(n^2+1)} -> 0 quando n -> infinito.
Ou seja, 0 e 1 sao valores de aderencia da sequencia {raiz(n)}.
Um pouco de reflexao e esforco mental (no banheiro) me fez pensar na sequencia:
y(n) = raiz(n^2 + 2*a*n) - n.
Nao eh dificil ver que y(n) -> a quando n -> infinito.
Alem disso, podemos escrever:
y(n) = {raiz(n^2 + 2*a*n)} + [raiz(n^2 + 2*a*n)] - n
Suponhamos que a seja um racional de (0,1], ou seja, a = p/q onde p e q sao inteiros positivos e p <= q.
Nesse caso, n^2 + 2*a*n = n^2 + 2*(p/q)*n eh inteiro sempre que n for um multiplo de q e [raiz(n^2 + 2*a*n)] = n. Portanto, concluimos que:
y(q*n) = {raiz(q^2*n^2 + 2*p*n)} -> p/q quando n -> infinito.
Ou seja, todo racional de [0,1] eh valor de aderencia de {raiz(n)}.
Agora, tome um intervalo qualquer I de [0,1]. Sabemos que I contem, em seu interior, algum racional e que este racional eh limite de alguma subsequencia de {raiz(n)}. Logo, I conterah todos os termos desta subsequencia com indices suficientemente grandes, ou seja, {raiz(n)} eh densa em [0,1].
***
Com pequenas adaptacoes, o argumento acima resolve o problema original proposto pelo Artur.
[]s,
Claudio.
[obm-l] Conjunto denso em R
Um problrma que me pareceu interessante: mostre que, para todo real p<>0, o
conjunto A = {raiz(n) + m*p | n>=0 e m sao inteiros} eh denso em R.
Artur
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RE: [obm-l] Conjunto denso em R
> > O que significa intersecao nao trivial?
> > A definicao que eu ja vi em varios livros, relativa a espacos
> topologicos, e
> > que Y eh denso em X se o fecho de Y for o proprio X.
> Eu deveria ter escrito não vazia em vez de não trivial.
> A sua definição é equivalente à que eu dei.
Ah! Obrigado. O Eduardo Casagrande tambem fez esta observacao.
Com relacao ao topico original deste asunto, o problema apresentado pelo
Claudio, eu andei pensando nele (no original, aquele que aparece no livro do
Erlon). O Claudio disse que a prova baseada no pricipio da casa dos pombos
estava errada, mas eu creio que eh possivel e provar com base neste
principio. Penguei assim um gancho na ideia do Claudio, que me pareceu OK.
Queremos mostrar que, se a eh irracional, entao A= {n*a+m | m e n sao
inteiros} eh denso em R. Para facilitar, observemos que:
(1) Eh suficiente mostrar que, para todo eps>0, A intersecta (0, eps) --
Pois, se x pertence a A interseccao (0, eps), entao a sequencia {x, 2x,
3x...} estah em A eh e uma PA de razao eps. Logo, para todo real r existe um
inteiro k tal que kx estah em (r, r+eps)
(2) Em virtude de (1), basta mostrar que existem u e v em A tais que
|u-v|=0, definamos frac(x) como a parte fracionaria de x, de
modo que x = Ix + frac(x), com 0<=frac(x)<1. Ix eh o piso de x, o maior
inteiro <= x. Temos entao que S = {frac(na) | m eh natural} eh infinito.
Para ver isto, observemos que se m<>n entao frac(ma)<>frac(na). Pois, se
frac(ma)=frac(na) para n<>n, entao ma - na = Im - In, com Im e In inteiros.
Segue-se entao que, contrariamente aa hipotese basica, a eh racional. Isto
nos mostra que os termos da sequencia {frac(na)} sao distintos 2 a 2, o que
implica que S eh numeravel e infinito.
Tomemos agora [0,1] e o dividamos em um numero finito de intervalos fechados
de comprimento 0, isto eh possivel). Eh imediato que S
eh um subconjunto infinito de [0,1]. E eh aqui que entra em cena o pricipio
da casa dos pombos. Logo, pelo menos um dos subintervalos em que dividimos
[0,1] tem que conter 2 ou mais elementos de S. Na realidade, tem que conter
infinitos elementos de S. Existem assim uma infinidade de naturais p e q
para os quais |frac(pa) - frac(qa)|<>
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
On Wed, Sep 10, 2003 at 05:32:01PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: >> Seja X um espaço topológico e Y um subconjunto de X: >> Y é denso em X se para todo aberto Z contido em X >> a interseção de Y com Z é não trivial. > > O que significa intersecao nao trivial? > A definicao que eu ja vi em varios livros, relativa a espacos topologicos, e > que Y eh denso em X se o fecho de Y for o proprio X. Eu deveria ter escrito não vazia em vez de não trivial. A sua definição é equivalente à que eu dei. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> > > Conjunto denso e quando entre dois elementos > > quaisquer sempre ha mais um... > > Há vários usos para a palavra "denso". > > > > (a) > Seja X um espaço topológico e Y um subconjunto de X: > Y é denso em X se para todo aberto Z contido em X > a interseção de Y com Z é não trivial. > > O que significa intersecao nao trivial? > A definicao que eu ja vi em varios livros, relativa a espacos topologicos, e > que Y eh denso em X se o fecho de Y for o proprio X. > Obrigado. > Artur Oi Artur! Na definição do Nicolau, faltou dizer "aberto Z não-vazio". Por "não trivial", entenda "não vazio". A sua definição é equivalente à que o N. deu, tente demonstrar isto, Artur. Abração! Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
- Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: Re: [obm-l] Conjunto denso em R Data: 10/09/03 14:45 On Wed, Sep 10, 2003 at 01:05:10PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: > Conjunto denso e quando entre dois elementos > quaisquer sempre ha mais um... Há vários usos para a palavra "denso". (a) Seja X um espaço topológico e Y um subconjunto de X: Y é denso em X se para todo aberto Z contido em X a interseção de Y com Z é não trivial. O que significa intersecao nao trivial? A definicao que eu ja vi em varios livros, relativa a espacos topologicos, e que Y eh denso em X se o fecho de Y for o proprio X. Obrigado. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
On Wed, Sep 10, 2003 at 01:05:10PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: > Conjunto denso e quando entre dois elementos > quaisquer sempre ha mais um... Há vários usos para a palavra "denso". (a) Seja X um espaço topológico e Y um subconjunto de X: Y é denso em X se para todo aberto Z contido em X a interseção de Y com Z é não trivial. (b) Um conjunto totalmente ordenado X é denso se entre dois pontos de X há sempre um terceiro: x1 < x2 implica em que existe x3, x1 < x3 < x2. (c) Um subconjunto Y de um conjunto totalmente ordenado X é denso em X se para quaisquer x1 < x2 em X existir y em Y com x1 < y < x2. Os significados (a) e (c) são equivalentes para subconjuntos de R mas (c) não faz sentido em R^2, por exemplo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
Conjunto denso e quando entre dois elementos
quaisquer sempre ha mais um...> x < y + na + m < y, e segue que existe um
Pois então, a minha prova (elementar) está correta, vai aqui completa:
Seja B = {na - m | n, m inteiros não negativos, a > 0 irracional}
B é fechado em relação a adição, basta ver que:
(na - m) + (ka - l) = (n + k)a - (m + l), com (n + k) e (m + l) inteiros não
negativos.
Teorema: Existem infinitos pares p, q de inteiros tal que |p/q - a| < 1/q².
Note que podemos obter valores de q arbitrariamente grandes.
então a = p/q + e, com 0 < |e| < 1/q²
na - m = n(p/q + e) - m = np/q - m + ne
agora tome n = q, m = p, temos
na - m = ne = qe, e logo |na - m| = |qe| = q|e| < 1/q
isso mostra que podemos obter valores arbitrariamente próximos de 0 para
|na - m|.
sendo assim, sejam x < y elementos de B.
existe então um par p, q de inteiros que satisfaz 0 < |qa - p| < y - x.
se qa - p > 0 então:
x < x + qa - p < y, e como provamos B é fechado em relação a adição,
logo existe um elemento entre x e y.
se qa - p < 0 então:
x < y + qa - p < y, e pelo mesmo argumento existe um elem. entre x e y.
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
Conjunto denso e quando entre dois elementos quaisquer sempre ha mais um... --- "Domingos Jr." <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > (**) uma questão chata agora é provar que > sempre existe p, q que tornem e > > 0, pois aí teríamos 0 < na + m < 1/q. > pra mim isso parece verdade pois seria > extremamente bizarro haver apenas > aproximações por cima com a precisão > denominador²! > > > nossa, agora que percebi, isso é completamente > desnecessário... > tome x < y em B, então para algum q inteiro > positivo tq 1/q < y - x. > > se -1/q² < e < 0, então > -1/q < na + m < 0 > x < y + na + m < y, e segue que existe um > elemento entre x, y em B. > > no caso de 0 < na + m < 1/q tomamos x < x + na > + m < y. > > uma pergunta: eu conheci a definição de > conjunto denso com base no que você > (Cláudio) me disse, é assim mesmo que se prova > que um conjunto é denso ou > existe alguma condição adicional? > > vou pensar na questão dos pontos de > acumulação... > > [ ]'s > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R - Marcio
Mas fraçoes continuas e o que ha pra esse tipo de problema... A soluçao com PCP deve ser parecida...Veja o artigo do Gugu. --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > on 09.09.03 20:10, Marcio Afonso A. Cohen at > [EMAIL PROTECTED] > wrote: > > > Espero que esteja certo, de uma conferida.. > > > > Se a eh irracional positivo, olhe para as > aproximacoes por fracoes > > continuas de a. > > > Oi, Marcio: > > Realmente, com fracoes continuas o resultado > sai, mas eu estava pensando > numa solucao mais elementar, usando apenas o > PCP. > > > Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+ e as > reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0, > > p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... ) > > com n par satisfazem 0 < a - p_n/q_n < > (1/q_n)^2 > > Como os p_n,q_n sao positivos e tendem para > infinito, podemos, dado um > > eps>0 qualquer, escolher n tq 1/q_n < eps. > > Nesse caso, a desigualdade acima implica 0 < > (q_n)*a - p_n < eps. > > Portanto, dado qualquer intervalo (r,r+eps) > de R+, sempre existe algum > > multiplo de (q_n)*a - p_n que cai nesse > intervalo. > > > > Para intervalos em R-, voce pode adotar uma > ideia parecida, mas agora > > olhando para as reduzidas de ordem impar. > > > Esse eh a ideia chave: separar os casos B inter > R+ e B inter R-. Obvia, > depois que alguem pensa nisso! Vou mandar uma > msg com a solucao mais > elementar usando essa ideia. > > > Obs: As demonstracoes desses resultados sobre > as reduzidas decorrem das > > relacoes t(n+2) = a(n+2)t(n+1)+t(n), > satisfeitas tanto por t(n)=p(n) quanto > > por t(n)=q(n). Isso pode ser verificado por > inducao, e pode ser conjecturado > > a partir de uma analise das fracoes continuas > de numeros racionais (que "eh" > > o algoritmo de euclides). > > > > Obs2: Se a = p/q, p,q inteiros, entao os > elementos de B sao da forma > > (np-mq)/q, e como o numerador eh inteiro, > todos os elementos de B tem modulo > >> = 1/q. Em particular, B nao eh denso em R. > > Se a for negativo, entao B soh tem elementos > negativos e nao eh denso em > > R. > > > Bom ponto. O Domingos tambem observou isso. Com > a negativo, serah que B tem > algum ponto de acumulacao? > > Um abraco, > Claudio. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R - Domingos
Se x for um ponto de acumulacao de C, entao existe uma seq. de elementos
distintos de C convergindo para x. Mas qualquer seq. de elementos de C vai
para infinito, ne? Logo me parece que nao temos pontos de acumulacao.
Abraco,
Salvador
>
> Agora, uma questao interessante:
> Se a eh um irracional positivo e C = {n*a + m; m,n: inteiros nao-negativos},
> serah que C tem algum ponto de acumulacao ou todos os seus pontos sao
> isolados?
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Conjunto denso em R - FURADA
on 09.09.03 14:08, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:
>
> Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
> contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
> denso em R.
>
Infelizmente a demonstracao abaixo tem um furo...veja o item (d):
a) Particionamos [0,1) = [0,1/n) U [1/n,2/n) U ... U [(n-1)/n,1)
b) Consideramos os n+1 numeros: 0, a - [a], 2a - [2a], ..., na - [na] e
usamos o PCP para concluir que dois deles, digamos ra - [ra] e sa - [sa],
com 0 <= r < s <= n, pertencem ao mesmo sub-intervalo.
c) Isso quer dizer que 0 < | (sa - [sa]) - (ra - [ra]) | < 1/n, ou seja:
0 < | (s - r)a - ([sa] - [ra]) | < 1/n
d) Mas a > 0 e r < s ==> s - r > 0 e [sa] - [ra] >= 0.
A PASSAGEM A SEGUIR NAO EH VALIDA
Assim: 0 < (s - r)a - ([sa] - [ra]) < 1/n.
Isso nao eh sempre verdade. Por exemplo:
a = 1,501..., r = 1, s = 2 ==>
(s - r)a = 1,501...
[sa] - [ra] = 3 - 1 = 2 ==>
(s - r)a - ([sa] - [ra]) = 0,002... - 1,501... = -0,491... < 0
Foi mal!
OBS: A demonstracao mais sofisticada do Marcio, usando a representacao de a
em fracao continua (cujas reduzidas de ordem par sao sempre > a), continua
valendo. Ou seja, o resultado eh verdadeiro.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
(**) uma questão chata agora é provar que sempre existe p, q que tornem e > 0, pois aí teríamos 0 < na + m < 1/q. pra mim isso parece verdade pois seria extremamente bizarro haver apenas aproximações por cima com a precisão denominador²! nossa, agora que percebi, isso é completamente desnecessário... tome x < y em B, então para algum q inteiro positivo tq 1/q < y - x. se -1/q² < e < 0, então -1/q < na + m < 0 x < y + na + m < y, e segue que existe um elemento entre x, y em B. no caso de 0 < na + m < 1/q tomamos x < x + na + m < y. uma pergunta: eu conheci a definição de conjunto denso com base no que você (Cláudio) me disse, é assim mesmo que se prova que um conjunto é denso ou existe alguma condição adicional? vou pensar na questão dos pontos de acumulação... [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjunto denso em R - Marcio
on 09.09.03 20:10, Marcio Afonso A. Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Espero que esteja certo, de uma conferida.. > > Se a eh irracional positivo, olhe para as aproximacoes por fracoes > continuas de a. > Oi, Marcio: Realmente, com fracoes continuas o resultado sai, mas eu estava pensando numa solucao mais elementar, usando apenas o PCP. > Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+ e as reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0, > p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... ) > com n par satisfazem 0 < a - p_n/q_n < (1/q_n)^2 > Como os p_n,q_n sao positivos e tendem para infinito, podemos, dado um > eps>0 qualquer, escolher n tq 1/q_n < eps. > Nesse caso, a desigualdade acima implica 0 < (q_n)*a - p_n < eps. > Portanto, dado qualquer intervalo (r,r+eps) de R+, sempre existe algum > multiplo de (q_n)*a - p_n que cai nesse intervalo. > > Para intervalos em R-, voce pode adotar uma ideia parecida, mas agora > olhando para as reduzidas de ordem impar. > Esse eh a ideia chave: separar os casos B inter R+ e B inter R-. Obvia, depois que alguem pensa nisso! Vou mandar uma msg com a solucao mais elementar usando essa ideia. > Obs: As demonstracoes desses resultados sobre as reduzidas decorrem das > relacoes t(n+2) = a(n+2)t(n+1)+t(n), satisfeitas tanto por t(n)=p(n) quanto > por t(n)=q(n). Isso pode ser verificado por inducao, e pode ser conjecturado > a partir de uma analise das fracoes continuas de numeros racionais (que "eh" > o algoritmo de euclides). > > Obs2: Se a = p/q, p,q inteiros, entao os elementos de B sao da forma > (np-mq)/q, e como o numerador eh inteiro, todos os elementos de B tem modulo >> = 1/q. Em particular, B nao eh denso em R. > Se a for negativo, entao B soh tem elementos negativos e nao eh denso em > R. > Bom ponto. O Domingos tambem observou isso. Com a negativo, serah que B tem algum ponto de acumulacao? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjunto denso em R - Domingos
on 09.09.03 18:03, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
> contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
> denso em R.
>
>
> x
>
> note que se a < -1, então entre {-1, 0} não existe nenhum elemento de B.
> que tal impor a condição a > 0?
>
Oi, Domingos:
Realmente, voce tem toda a razao. Temos que supor a > 0.
Agora, uma questao interessante:
Se a eh um irracional positivo e C = {n*a + m; m,n: inteiros nao-negativos},
serah que C tem algum ponto de acumulacao ou todos os seus pontos sao
isolados?
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
on 09.09.03 14:08, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:
>
> Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
> contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
> denso em R.
>
Obrigado, Domingos e Marcio:
De fato, "a" precisa ser positivo. Alem disso, ajuda um pouco sem
enfraquecer muito a hipotese supor que m e n sao NAO-NEGATIVOS ao inves de
estritamente positivos.
Mas o mais importante foi a ideia de separar a demonstracao em duas partes:
1) Provar que B inter R+ eh denso em R+
2) Provar que B inter R- eh denso em R-.
Com essa divisao a coisa vai...
Por exemplo, para a parte 1 teriamos os seguintes passos:
a) Particionamos [0,1) = [0,1/n) U [1/n,2/n) U ... U [(n-1)/n,1)
b) Consideramos os n+1 numeros: 0, a - [a], 2a - [2a], ..., na - [na] e
usamos o PCP para concluir que dois deles, digamos ra - [ra] e sa - [sa],
com 0 <= r < s <= n, pertencem ao mesmo sub-intervalo.
c) Isso quer dizer que 0 < | (sa - [sa]) - (ra - [ra]) | < 1/n, ou seja:
0 < | (s - r)a - ([sa] - [ra]) | < 1/n
d) Mas a > 0 e r < s ==> s - r > 0 e [sa] - [ra] >= 0.
Assim: 0 < (s - r)a - ([sa] - [ra]) < 1/n.
e) Mas (s - r)a - ([sa] - [ra]) pertence a B. Como n eh arbitrario,
concluimos que inf(B inter R+) = 0.
f) Agora, sejam os reais u, v tais que 0 <= u < v. Dado n > 1/(v - u), vai
existir um elemento de B, digamos pa - q, tal que 0 < pa - q < v - u.
g) Seja m o menor inteiro positivo tal que m(pa - q) > u.
Naturalmente, m(pa - q) = (mp)a - mq pertence a B.
h) Se m(pa - q) >= v, entao:
(m - 1)(pa - q) = m(pa - q) - (pa - q) > v - (v - u) = u ==>
contradicao a definicao de m ==>
m(pa - q) < v ==>
m(pa - q) pertence ao intervalo (u,v) ==>
B inter R+ eh denso em R+.
*
Considerando a particao:
[-1,0) = [-1,-(n-1)/n) U [-(n-1)/n,-(n-2)/n) U... U [-1/n,0)
e os n+1 numeros -1, a - ([a]+1), 2a - ([2a]+1), ..., na - ([na]+1)
e raciocinando de forma analoga, concluimos que B inter R- eh denso em R-.
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
Espero que esteja certo, de uma conferida..
Se a eh irracional positivo, olhe para as aproximacoes por fracoes
continuas de a.
Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+ e as reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0,
p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... )
com n par satisfazem 0 < a - p_n/q_n < (1/q_n)^2
Como os p_n,q_n sao positivos e tendem para infinito, podemos, dado um
eps>0 qualquer, escolher n tq 1/q_n < eps.
Nesse caso, a desigualdade acima implica 0 < (q_n)*a - p_n < eps.
Portanto, dado qualquer intervalo (r,r+eps) de R+, sempre existe algum
multiplo de (q_n)*a - p_n que cai nesse intervalo.
Para intervalos em R-, voce pode adotar uma ideia parecida, mas agora
olhando para as reduzidas de ordem impar.
Obs: As demonstracoes desses resultados sobre as reduzidas decorrem das
relacoes t(n+2) = a(n+2)t(n+1)+t(n), satisfeitas tanto por t(n)=p(n) quanto
por t(n)=q(n). Isso pode ser verificado por inducao, e pode ser conjecturado
a partir de uma analise das fracoes continuas de numeros racionais (que "eh"
o algoritmo de euclides).
Obs2: Se a = p/q, p,q inteiros, entao os elementos de B sao da forma
(np-mq)/q, e como o numerador eh inteiro, todos os elementos de B tem modulo
>= 1/q. Em particular, B nao eh denso em R.
Se a for negativo, entao B soh tem elementos negativos e nao eh denso em
R.
- Original Message -
From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Tuesday, September 09, 2003 2:08 PM
Subject: [obm-l] Conjunto denso em R
> Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
> contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS}
eh
> denso em R.
>
> Qualquer ajuda serah bem-vinda.
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
denso em R.
x
note que se a < -1, então entre {-1, 0} não existe nenhum elemento de B.
que tal impor a condição a > 0?
que tal essa idéia?
basicamente B é um conjunto fechado para soma, certo?
pois (na - m) +(ka - l) = (n+k)a - (m+l) e n+k e m+l são inteiros
positivos...
se mostrarmos que é possível obter valores em B tão próximos de zero quanto
se queira, provamos que sempre existe um valor entre dois elementos de B e
logo B é denso.
existem infinitos p, q inteiros positivos (a > 0) tq |p/q - a| < 1/q² (lindo
teorema!)
sendo assim, para algum |e| < 1/q² (**) temos
a = p/q + e
n(p/q + e) - m = np/q - m + ne
tome n = q, m = p, então na + m = ne
|na + m| = |ne| < q*1/q² = 1/q
sendo que os valores de q podem crescer a vontade.
(**) uma questão chata agora é provar que sempre existe p, q que tornem e >
0, pois aí teríamos 0 < na + m < 1/q.
pra mim isso parece verdade pois seria extremamente bizarro haver apenas
aproximações por cima com a precisão denominador²!
[ ]'s
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Conjunto denso em R
Oi, pessoal:
Um dos resultados mencionados na enquete da beleza matematica foi o seguinte
(27.v):
Se a é irracional, então o conjunto A = {m + n*a; m, n inteiros} é denso
em R (ou seja, qualquer intervalo aberto, por menor que seja, contém algum
elemento de A - de fato, contém uma infinidade de elementos de A).
Esse resultado estah proposto como exercicio no livro de analise do Elon
(Curso de Analise - vol. 1 - capitulo III - ex. 58 da 6a. edicao) e pode ser
demonstrado por meio do PCP, particionando o intervalo [0,1) em n
sub-intervalos iguais (todos da forma [k/n,(k+1)/n) e considerando os n+1
numeros:
0, a - [a], 2a - [2a], ..., na - [na], onde [x] = maior inteiro <= x.
Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
denso em R.
Qualquer ajuda serah bem-vinda.
Um abraco,
Claudio.
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