Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
seguindo a sugesto do Igor, voc encontrar 3 valores para k , que so 7,8 e 13 Verifique PONCE Igor Castro escreveu: Bem, fazendo uma analise rpida, a equao ter razes racionais se raiz de deltaforracional Delta = k^2 - 4.4.3 = x^2 - (k+x)(k-x)= 4.4.3 = 48 Bem, daih, pra cada A.B=48 que vc tiver.. vc tem um valor de k(note que assim x e k sempre sero racionais, soh resolver o sistema).. como o prb pede Quantos valores servem... melhor vc deve olhar pro nmeros de divisores de 48(tem uma formulado mto conhecida pra isso)ao invs de tentar achar todos e depois contar.. espero que d certo essa contagem.. Espero que tenha ajudado um pouco... Igor de Castro- www.cnaval.cjb.net - Original Message - From: Victor Machado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 26, 2004 8:12PM Subject: [obm-l] Exercicio Colegio Naval2003 - Equacoes do segundo grau Ol amigos da Lista, queria lhes agradecer pelasresolucoes enviadas. Mas gostaria de outra : (CN-2003) Dada a equao do 2grau na incgnita x : 4x^2 + Kx + 3 =0. Quantos so os valores inteiros possveis do parmetroK, tais que essa equao s admita razes racionais? Falaram-me que o exercicio sairia facil peloteoremas das raizes racionais, mas nao o conheco... entao peco-lhes : poderiampor a resolucao junto com uma pequena teoria sobre esse teorema ? Agradeco desde ja Victor
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Luiz, Na verdade, há 6 valores para k: -13, -8, -7, 7, 8, 13. Você desconsiderou os inteiros negativos, e não havia essa restrição no enunciado. O exercício resolvido pode ser lido em: http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg18716.html Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Luiz Ponce To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 8:27 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau seguindo a sugestão do Igor, você encontrará 3 valores para k , que são 7,8 e 13 Verifique PONCE = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
BOM ESTA QUESTÃO É DA UFRJ DO CONCURSO QUE TEVE E ESTÁ BENDITA QUESTÃO NÃO FOI ANULADA!! - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 8:54 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau Luiz, Na verdade, há 6 valores para k: -13, -8, -7, 7, 8, 13. Você desconsiderou os inteiros negativos, e não havia essa restrição no enunciado. O exercício resolvido pode ser lido em: http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg18716.html Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Luiz Ponce To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 8:27 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau seguindo a sugestão do Igor, você encontrará 3 valores para k , que são 7,8 e 13 Verifique PONCE = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Tarcio, A questão não é das melhores, mas não creio que anulá-la fosse justo, afinal de contas ela não possui qualquer erro que impossibilite sua resolução. - Original Message - From: Tarcio Santiago [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 9:26 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau BOM ESTA QUESTÃO É DA UFRJ DO CONCURSO QUE TEVE E ESTÁ BENDITA QUESTÃO NÃO FOI ANULADA!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Utilizando a solução que eu mostrei você não precisa restringir aos positivos. Porém, é facil ver que só teráo os sinais invertidos( 24.2= -24.-2) e as 3 soluções positivas são também análogas as outras 3 negativas.. somando 6 soluções inteiras. Igor Castro - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 10:06 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau Tarcio, A questão não é das melhores, mas não creio que anulá-la fosse justo, afinal de contas ela não possui qualquer erro que impossibilite sua resolução. - Original Message - From: Tarcio Santiago [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 9:26 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau BOM ESTA QUESTÃO É DA UFRJ DO CONCURSO QUE TEVE E ESTÁ BENDITA QUESTÃO NÃO FOI ANULADA!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Sim, Igor. A sua solução (garantir o discriminante racional) é plenamente válido também. Entretanto, na hora em que a prova está sendo aplicada, dizer que algo é fácil é um tanto subjetivo. Deve-se levar em conta o trabalho que a questão dá, o tempo que toma, e que ela não é a única na prova. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Webmaster - Cnaval [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 11:40 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau Utilizando a solução que eu mostrei você não precisa restringir aos positivos. Porém, é facil ver que só teráo os sinais invertidos( 24.2= -24.-2) e as 3 soluções positivas são também análogas as outras 3 negativas.. somando 6 soluções inteiras. Igor Castro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Ok , pela informao. entretanto utilizei o enunciado proposto pelo Victor Machado, e dado abaixo From: Victor Machado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 26, 2004 8:12PM Subject: [obm-l] Exercicio Colegio Naval2003 - Equacoes do segundo grau Ol amigos da Lista, queria lhes agradecer pelasresolucoes enviadas. Mas gostaria de outra : (CN-2003) Dada a equao do 2grau na incgnita x : 4x^2 + Kx + 3 =0. Quantos so os valores inteiros possveis do parmetroK, tais que essa equao s admita razes racionais? Um abrao PONCE Tarcio Santiago escreveu: BOM ESTA QUESTO DA UFRJ DO CONCURSO QUE TEVE E EST BENDITA QUESTO NO FOI ANULADA!! - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 8:54 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau Luiz, Na verdade, h 6 valores para k: -13, -8, -7, 7, 8, 13. Voc desconsiderou os inteiros negativos, e no havia essa restrio no enunciado. O exerccio resolvido pode ser lido em: http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg18716.html Abraos, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Luiz Ponce To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 8:27 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau seguindo a sugesto do Igor, voc encontrar 3 valores para k , que so 7,8 e 13 Verifique PONCE = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
E o Teorema das raízes racionais diz que, se um polinômio p(x) = a_0 + a_1*x
+ a_2*x^2 + ... + a_n*x^n admitir raízes racionais, p/q, p será divisor de
a_0 e q será divisor de a_n.
Pelo seu problema temos que p = {+-1, +-3} e q = {+-1, +-2, +-4}.
Agora você vai testando as combinações... Por exemplo: x = 1 == 4 + K + 3 =
0 == K = -7.
Pra K = -7, você tem como raízes x_1 = 1 e x_2 = 3/4.
Agora é só continuar...
Abraços,
Henrique.
- Original Message -
From: Victor Machado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 26, 2004 8:12 PM
Subject: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Olá amigos da Lista, queria lhes agradecer pelas resolucoes enviadas.
Mas gostaria de outra :
(CN-2003) Dada a equação do 2º grau na incógnita x : 4x^2 + Kx + 3 = 0.
Quantos são os valores inteiros possíveis do parâmetro K, tais que essa
equação só admita raízes racionais?
Falaram-me que o exercicio sairia facil pelo teoremas das raizes racionais,
mas nao o conheco... entao peco-lhes : poderiam por a resolucao junto com
uma pequena teoria sobre esse teorema ?
Agradeco desde ja
Victor
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Bem, fazendo uma analise rápida, a equação terá raízes racionais se raiz de deltaforracional Delta = k^2 - 4.4.3 = x^2 - (k+x)(k-x)= 4.4.3 = 48 Bem, daih, pra cada A.B=48 que vc tiver.. vc tem um valor de k(note que assim x e k sempre serão racionais, soh resolver o sistema).. como o prb pede Quantos valores servem... é melhor vc deve olhar pro números de divisores de 48(tem uma formulado mto conhecida pra isso)ao invés de tentar achar todos e depois contar.. espero que dê certo essa contagem.. Espero que tenha ajudado um pouco... Igor de Castro- www.cnaval.cjb.net - Original Message - From: Victor Machado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 26, 2004 8:12 PM Subject: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau Olá amigos da Lista, queria lhes agradecer pelas resolucoes enviadas. Mas gostaria de outra : (CN-2003) Dada a equação do 2º grau na incógnita x : 4x^2 + Kx + 3 = 0. Quantos são os valores inteiros possíveis do parâmetro K, tais que essa equação só admita raízes racionais? Falaram-me que o exercicio sairia facil pelo teoremas das raizes racionais, mas nao o conheco... entao peco-lhes : poderiam por a resolucao junto com uma pequena teoria sobre esse teorema ? Agradeco desde ja Victor
[obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Olá amigos da Lista, queria lhes agradecer pelas resolucoes enviadas. Mas gostaria de outra : (CN-2003) Dada a equação do 2º grau na incógnita x : 4x^2 + Kx + 3 = 0. Quantos são os valores inteiros possíveis do parâmetro K, tais que essa equação só admita raízes racionais? Falaram-me que o exercicio sairia facil pelo teoremas das raizes racionais, mas nao o conheco... entao peco-lhes : poderiam por a resolucao junto com uma pequena teoria sobre esse teorema ? Agradeco desde ja Victor
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Victor,
O teorema das raízes racionais (TRR), diz: Seja F(x) = a_0*x^n +
a_1*x^(n-1) + ... + a_n = 0, se p/q for raiz de F(x) = 0 de coeficientes
inteiros, então p será divisor de a_n e q será divisor de a_0. Obs.: p/q é
fração irredutível.
Para a equação 4x^2 + kx + 3 = 0, sendo D(n) o conjunto dos divisores de n,
D(3) = {-1,+1,-3,+3}
D(4) = {-1,+1,-2,+2,-4,+4}
As raízes racionais: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/4, -1/4, 3, -3, 3/2, -3/2,
3/4, -3/4
x = 1 == k = -7
x = -1 == k = 7
x = 1/2 == k = -8
x = -1/2 == k = 8
x = 1/4 == k = -13
x = -1/4 == k = 13
x = 3 == k = -13
x = -3 == k = 13
x = 3/2 == k = -8
x = -3/2 == k = 8
x = 3/4 == k = -7
x = -3/4 == k = 7
Logo, existem 6 valores de k para os quais a equação possui raízes
racionais: -13,-8,-7,7,8,13.
Só um comentário final, esse é bem o perfil dos exercícios da maioria das
instituições militares: pouca criatividade e muitas contas. E caso você se
poupe de alguma das contas, chutando, certamente erra. Além disso, ainda
há uma redundância no enunciado: se as raízes devem ser racionais, para que
exigir k inteiro ou vice-versa? k é coeficiente da equação e, para raízes
racionais, ele será necessariamente inteiro, algo que é garantido pelo TRR.
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: Victor Machado
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 26, 2004 8:12 PM
Subject: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Olá amigos da Lista, queria lhes agradecer pelas resolucoes enviadas.
Mas gostaria de outra :
(CN-2003) Dada a equação do 2º grau na incógnita x : 4x^2 + Kx + 3 = 0.
Quantos são os valores inteiros possíveis do parâmetro K, tais que essa
equação só admita raízes racionais?
Falaram-me que o exercicio sairia facil pelo teoremas das raizes racionais,
mas nao o conheco... entao peco-lhes : poderiam por a resolucao junto com
uma pequena teoria sobre esse teorema ?
Agradeco desde ja
Victor
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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