[obm-l] Re: [obm-l] Problema de álgebra
Oi, Leonardo (e Ralph)
Resolvi postar meu "rabisco de tentativa de solução" pois acho (e com
certeza Ralph tb) que isso enriquece o aprendizado da gurizada (sorry pelo
gurizada, mas me formei em 1969...).
Fiz o seguinte:
(Supondo numa primeira abordagem que x, y e z fossem >= -1, prá ver onde
isso poderia parar).
Calculei MG e MA entre (1+x), (1+y) e (1+z).
A razão desse aparente coelho da cartola, Leonardo, é que o tal do x+y+z =
1, o xy+xz+yz e o xyz do seu enunciado me deram uma coceira num "produtinho
não tão notável, mas útil, que já matou inúmeros problemas, qual seja:
(1+x)(1+y)(1+z) = 1 + (x+y+z) + (xy+yz+xz) + xyz, que, nesse seu caso, vale
2 + a + xyz
Então, prosseguindo:
MA >= MG, acarreta 4/3 >= (2 + a + xyz)^1/3, ou seja, xyz <= (10/27 - a),
que aliás, é positivo, pois a < 1/3).
Mas esse rabisco não funciona pois não conseguimos garantir que o xyz
atinge o valor (10/27) - a, até porque isso só ocorreria se x = y = z o que
não é o caso, conforme a criativa solução do Ralph.
Abs de um colega mais velho que a lista (rsrsrs)...
Nehab
Em 15 de setembro de 2017 15:13, Leonardo Joau
escreveu:
> Dados os reais x, y,z, tais que:
>
> x+y+z = 1
>
> xy+xz+yz = a 0
> Calcule o max{xyz} em função de a.
>
>
> Att,
> Leonardo Joau
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de álgebra
On Fri, 15 Sep 2017 at 18:42 Ralph Teixeira wrote:
> Bom, suponho que queremos alguma solucao que nao use tecnicas de Calculo?
>
> Que tal assim: x, y e z sao raizes do polinomio:
>
> t^3-t^2+at-P=0
>
> onde P eh o que voce quer maximizar.
>
> O polinomio f(t)=t^3-t^2+at-P sempre tem pelo menos uma raiz real (grau
> 3). Quando voce muda P, voce translada o grafico de f(t) para cima (ou para
> baixo). Assim, a ideia eh levar o grafico para cima o maximo possivel,
> mantendo sempre 3 raizes reais -- isto eh, o P maximo acontece quando temos
> uma raiz dupla!
>
> Assim, podemos supor spdg x=y=r no P maximo, e portanto z=1-2r. Jogue isso
> em xy+xz+yz=a para descobrir esse r otimo em termos de a (confira que esse
> r eh real, garantindo a existencia das 3 raizes de fato), e calcule
> P=r.r.(1-2r) para descobrir o tal produto maximo.
>
> Abraco, Ralph.
>
>
> 2017-09-15 15:13 GMT-03:00 Leonardo Joau :
>
>> Dados os reais x, y,z, tais que:
>>
>> x+y+z = 1
>>
>> xy+xz+yz = a 0>
>> Calcule o max{xyz} em função de a.
>>
>>
>> Att,
>> Leonardo Joau
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
Eu criei essa questão pensando exatamente nesse polinômio e na translação
do gráfico.
Acredito que fica bem dificil usando somente as desigualdades classicas.
Att,
Leonardo
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de álgebra
Bom, suponho que queremos alguma solucao que nao use tecnicas de Calculo?
Que tal assim: x, y e z sao raizes do polinomio:
t^3-t^2+at-P=0
onde P eh o que voce quer maximizar.
O polinomio f(t)=t^3-t^2+at-P sempre tem pelo menos uma raiz real (grau 3).
Quando voce muda P, voce translada o grafico de f(t) para cima (ou para
baixo). Assim, a ideia eh levar o grafico para cima o maximo possivel,
mantendo sempre 3 raizes reais -- isto eh, o P maximo acontece quando temos
uma raiz dupla!
Assim, podemos supor spdg x=y=r no P maximo, e portanto z=1-2r. Jogue isso
em xy+xz+yz=a para descobrir esse r otimo em termos de a (confira que esse
r eh real, garantindo a existencia das 3 raizes de fato), e calcule
P=r.r.(1-2r) para descobrir o tal produto maximo.
Abraco, Ralph.
2017-09-15 15:13 GMT-03:00 Leonardo Joau :
> Dados os reais x, y,z, tais que:
>
> x+y+z = 1
>
> xy+xz+yz = a 0
> Calcule o max{xyz} em função de a.
>
>
> Att,
> Leonardo Joau
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema de álgebra
Dados os reais x, y,z, tais que: x+y+z = 1 xy+xz+yz = a 0
[obm-l] Problema de álgebra
a) 100n(n+1) = (10n)^2 + 2 . 10n .5100n(n+1) + 25 = (10n)^2 + 2.10n.5 + 5^2 = (10n + 5)^2para n = 1 temos 225 = 15^2para n = 2 temos 625 = 25^2 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Álgebra
a) 729 b) 9216=(96)^2 94^2=8836 tem mais de uma manneira se n>12 2014-10-29 18:56 GMT-02:00 Mariana Groff : > Boa tarde, > Não consigo resolver o problema a seguir, alguém poderia me ajudar? > > O inteiro n é o produto de dois inteiros positivos. Prove que > > (a) é possível escrever dois algarismos após os algarismos das unidades > deste número de modo que o inteiro resultante seja um quadrado perfeito. > > (b) se n>12 então só existe uma maneia de escolher estes algarismos. > > Obrigada! > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Álgebra
Perdão, Invés de n ser o produto de dois inteiros positivos, n é o produto de dois inteiros positivos consecutivos. Em 29 de outubro de 2014 20:03, escreveu: >Cara Mariana, >Acho que há algum problema com o enunciado. Seja n=122=2.61. Se > escrevemos dois algarismos após o algarismo das unidades de n obtemos um > número entre 12200 e 12299. Como 110^2=12100<12200 e 111^2=12321>12299, > nenhum desses números é um quadrado perfeito. >Abraços, > Gugu > > Quoting Mariana Groff : > > Boa tarde, >> Não consigo resolver o problema a seguir, alguém poderia me ajudar? >> >> O inteiro n é o produto de dois inteiros positivos. Prove que >> >> (a) é possível escrever dois algarismos após os algarismos das unidades >> deste número de modo que o inteiro resultante seja um quadrado perfeito. >> >> (b) se n>12 então só existe uma maneia de escolher estes algarismos. >> >> Obrigada! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> > > > > This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Álgebra
Cara Mariana, Acho que há algum problema com o enunciado. Seja n=122=2.61. Se escrevemos dois algarismos após o algarismo das unidades de n obtemos um número entre 12200 e 12299. Como 110^2=12100<12200 e 111^2=12321>12299, nenhum desses números é um quadrado perfeito. Abraços, Gugu Quoting Mariana Groff : Boa tarde, Não consigo resolver o problema a seguir, alguém poderia me ajudar? O inteiro n é o produto de dois inteiros positivos. Prove que (a) é possível escrever dois algarismos após os algarismos das unidades deste número de modo que o inteiro resultante seja um quadrado perfeito. (b) se n>12 então só existe uma maneia de escolher estes algarismos. Obrigada! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Problema de Álgebra
Boa tarde, Não consigo resolver o problema a seguir, alguém poderia me ajudar? O inteiro n é o produto de dois inteiros positivos. Prove que (a) é possível escrever dois algarismos após os algarismos das unidades deste número de modo que o inteiro resultante seja um quadrado perfeito. (b) se n>12 então só existe uma maneia de escolher estes algarismos. Obrigada! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de Álgebra
Entendi, Muito obrigada! Em 20 de outubro de 2014 18:12, Pacini Bores escreveu: > Oi Mariana, > > Observe que c =-(a+b) e levando na expressão original teremos : > > a^4+b^4 + c^4 = a^4+b^4+(a+b)^4. Desenvolvendo esta expressão , teremos > como resultado : > > 2(a^4+b^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3) = 2(a^2+b^2+ab)^2, ok ? > > Abraços > > Pacini > > Em 20 de outubro de 2014 17:41, Mariana Groff < > bigolingroff.mari...@gmail.com> escreveu: > >> Boa tarde, >> Não consigo resolver o seguinte problema, alguém poderia me ajudar? >> >> Sejam a,b e c números inteiros tais que a+b+c=0. Prove que a^4+b^4+c^4 é >> o dobro de um quadrado perfeito. >> >> >> Obrigada! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Álgebra
Oi Mariana, Observe que c =-(a+b) e levando na expressão original teremos : a^4+b^4 + c^4 = a^4+b^4+(a+b)^4. Desenvolvendo esta expressão , teremos como resultado : 2(a^4+b^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3) = 2(a^2+b^2+ab)^2, ok ? Abraços Pacini Em 20 de outubro de 2014 17:41, Mariana Groff < bigolingroff.mari...@gmail.com> escreveu: > Boa tarde, > Não consigo resolver o seguinte problema, alguém poderia me ajudar? > > Sejam a,b e c números inteiros tais que a+b+c=0. Prove que a^4+b^4+c^4 é o > dobro de um quadrado perfeito. > > > Obrigada! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema de Álgebra
Boa tarde, Não consigo resolver o seguinte problema, alguém poderia me ajudar? Sejam a,b e c números inteiros tais que a+b+c=0. Prove que a^4+b^4+c^4 é o dobro de um quadrado perfeito. Obrigada! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema de álgebra linear
Se alguém puder ajudar, agradeço muito! Vanderlei *Seja V = M2(R), P pertencente a V uma matriz fixa e T de V em V definida por **T(A) = PA. Mostre que trT = 2trP (onde trX denota o traço da matrix X e M2(R) é o conjunto das matrizes de ordem 2).* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
