Lema 1) x + y + z = raiz (3 . (xy + yz + zx)) para quaisquer x, y e z
positivos.
Prova:
Sabemos que: (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0 [*a igualdade ocorre se
somente se x=y=z*]. Desenvolvendo, teremos: 2.(x^2 + y^2 + z^2) - 2xy - 2yz
- 2zx = 0 - x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx= 3xy + 3yz
(x-y)² + (y-z)² +(z-x)² = 2(x²+y²+z²-xy-yz-zx) = 0
(x²+y²+z²-xy-yz-zx) =0
(x+y+z)² =3(xy+yz+zx)=3
(x+y+z)=3^(1/2)
O valor máximo diverge, já que podemos ter x infinitamente grande satisfazendo
o sistema, ex:
x = 10^k, y=10^-k e z = 10^-k satisfaz para k0, faça k tender ao infinito e
(x+y+z)
Olá, Pedro!
No link
http://dadosdedeus.blogspot.com/2011/03/demonstracoes-da-desigualdade-ma-mg.html
vc
encontra duas demonstrações da última parte da desigualdade. A média
harmônica sai fácil daí...
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