RE: [obm-l] analise na reta
Uma forma facil de ver isto eh levar em conta que o limsup eh o maior dos
pontos de aderencia e o liminf eh o menor deles. Se lim a_n = L, entao todas as
subsequencias de a_n tem limite L, ainda que L nao seja + ou - infinito. Existe
uma subsequencia cujo limite eh lisup e outra cujo limite eh liminf. A
conclusao eh, entao, automatica. Eh facil ver que a reciproca tambem eh
verdadeira.
Da forma como vc fez, tambem da. Vc comecou certo. Para n N, temos a - eps
a_n a + eps. A primeira igualdade implica que a - eps = liminf a_n; e a
segunda que limsup a_n = a + eps. Dai, vem a - eps = liminf a_n = limsup a_n
= a + eps, o que implica que 0 =limsup a_n - liminf a_n = 2 eps. Como eps eh
arbitrario, segue-se que liminf a_n = limsup a_n.
Se liminf a_n = limsup a_n = a, entao, dado eps 0, existem N1 e N2 tais que
n N1 implica a - eps a_n
n N2 implica a_n a + eps
Sendo N = máx {N1, N2}, para n N temos que a - eps a_n a + eps, do que
deduzimos que lim a_n = a.
Artur
Date: Fri, 22 Jan 2010 15:18:07 -0200
Subject: [obm-l] analise na reta
From: fcostabarr...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Oi. Eu estou tentando provar que se existe lim(a_n) = a então devemos ter lim
inf (an) = lim sup(an) = a
Da seguinte maneira
Dado um eps0 arbitrário, vai existir um N natural tal que nN implica a_n
pertence a V(eps,a) = { a_n ; a-eps a_n a+eps}
Como
y_N = sup { a_k; k=N}
a_k a+e
para todo k=N
logo a-eps = a_k = y_N = a+eps
Mas eu não quero y_N = a+eps, pois quero provar que a-eps y_n a+eps para
n suficientemente grande, n=N.
Ai eu não consegui fazer mais progresso. Ix empaquei.
Alguma dica??? Por favor não resolvam por mim.
Valeu
[]
F.
_
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Re: [obm-l] analise na reta
Francisco: lembre bem da definição de limite, com eps e deltas (o lim
sup, como você mesmo disse, é o lim da sequência y_N), e veja que não
é tão ruim assim que o y_N seja menor do que o a + eps. Ah, e lembre
que como y_N = sup, você não pode concluir y_N a+eps, mas apenas y_N
= a+eps, mas isso não é tão importante aqui (e você lembrou duas
linhas depois)
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
2010/1/22 Francisco Barreto fcostabarr...@gmail.com:
Oi. Eu estou tentando provar que se existe lim(a_n) = a então devemos ter
lim inf (an) = lim sup(an) = a
Da seguinte maneira
Dado um eps0 arbitrário, vai existir um N natural tal que nN implica a_n
pertence a V(eps,a) = { a_n ; a-eps a_n a+eps}
Como
y_N = sup { a_k; k=N}
a_k a+e
para todo k=N
logo a-eps = a_k = y_N = a+eps
Mas eu não quero y_N = a+eps, pois quero provar que a-eps y_n a+eps
para n suficientemente grande, n=N.
Ai eu não consegui fazer mais progresso. Ix empaquei.
Alguma dica??? Por favor não resolvam por mim.
Valeu
[]
F.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] analise na reta
Do primeiro jeito, não basta ver que lim sup e lim inf *são* valores de
aderência?
Valeu ai pela ajuda.
2010/1/22 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com
Uma forma facil de ver isto eh levar em conta que o limsup eh o maior dos
pontos de aderencia e o liminf eh o menor deles. Se lim a_n = L, entao todas
as subsequencias de a_n tem limite L, ainda que L nao seja + ou -
infinito. Existe uma subsequencia cujo limite eh lisup e outra cujo limite
eh liminf. A conclusao eh, entao, automatica. Eh facil ver que a reciproca
tambem eh verdadeira.
Da forma como vc fez, tambem da. Vc comecou certo. Para n N, temos a -
eps a_n a + eps. A primeira igualdade implica que a - eps = liminf a_n;
e a segunda que limsup a_n = a + eps. Dai, vem a - eps = liminf a_n
= limsup a_n = a + eps, o que implica que 0 =limsup a_n - liminf a_n = 2
eps. Como eps eh arbitrario, segue-se que liminf a_n = limsup a_n.
Se liminf a_n = limsup a_n = a, entao, dado eps 0, existem N1 e N2 tais
que
n N1 implica a - eps a_n
n N2 implica a_n a + eps
Sendo N = máx {N1, N2}, para n N temos que a - eps a_n a + eps, do
que deduzimos que lim a_n = a.
Artur
--
Date: Fri, 22 Jan 2010 15:18:07 -0200
Subject: [obm-l] analise na reta
From: fcostabarr...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Oi. Eu estou tentando provar que se existe lim(a_n) = a então devemos ter
lim inf (an) = lim sup(an) = a
Da seguinte maneira
Dado um eps0 arbitrário, vai existir um N natural tal que nN implica a_n
pertence a V(eps,a) = { a_n ; a-eps a_n a+eps}
Como
y_N = sup { a_k; k=N}
a_k a+e
para todo k=N
logo a-eps = a_k = y_N = a+eps
Mas eu não quero y_N = a+eps, pois quero provar que a-eps y_n a+eps
para n suficientemente grande, n=N.
Ai eu não consegui fazer mais progresso. Ix empaquei.
Alguma dica??? Por favor não resolvam por mim.
Valeu
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F.
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RE: [obm-l] analise na reta
Sim, de fato. Pois se a sequência converge, só tem um ponto de aderência.
Artur
Date: Fri, 22 Jan 2010 23:14:47 -0200
Subject: Re: [obm-l] analise na reta
From: fcostabarr...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Do primeiro jeito, não basta ver que lim sup e lim inf são valores de aderência?
Valeu ai pela ajuda.
2010/1/22 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com
Uma forma facil de ver isto eh levar em conta que o limsup eh o maior dos
pontos de aderencia e o liminf eh o menor deles. Se lim a_n = L, entao todas as
subsequencias de a_n tem limite L, ainda que L nao seja + ou - infinito. Existe
uma subsequencia cujo limite eh lisup e outra cujo limite eh liminf. A
conclusao eh, entao, automatica. Eh facil ver que a reciproca tambem eh
verdadeira.
Da forma como vc fez, tambem da. Vc comecou certo. Para n N, temos a - eps
a_n a + eps. A primeira igualdade implica que a - eps = liminf a_n; e a
segunda que limsup a_n = a + eps. Dai, vem a - eps = liminf a_n = limsup a_n
= a + eps, o que implica que 0 =limsup a_n - liminf a_n = 2 eps. Como eps eh
arbitrario, segue-se que liminf a_n = limsup a_n.
Se liminf a_n = limsup a_n = a, entao, dado eps 0, existem N1 e N2 tais que
n N1 implica a - eps a_n
n N2 implica a_n a + eps
Sendo N = máx {N1, N2}, para n N temos que a - eps a_n a + eps, do que
deduzimos que lim a_n = a.
Artur
Date: Fri, 22 Jan 2010 15:18:07 -0200
Subject: [obm-l] analise na reta
From: fcostabarr...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Oi. Eu estou tentando provar que se existe lim(a_n) = a então devemos ter lim
inf (an) = lim sup(an) = a
Da seguinte maneira
Dado um eps0 arbitrário, vai existir um N natural tal que nN implica a_n
pertence a V(eps,a) = { a_n ; a-eps a_n a+eps}
Como
y_N = sup { a_k; k=N}
a_k a+e
para todo k=N
logo a-eps = a_k = y_N = a+eps
Mas eu não quero y_N = a+eps, pois quero provar que a-eps y_n a+eps para
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