Re: [obm-l] Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica.... off-topic
Ola Fernando, Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Achei um paper simples que aborda fatos de alguma forma ligados ao seu interesse. Veja no endereco abaixo : http://www.das.ufsc.br/gia/computer/node6.html Ha tambem um livro introdutorio muito bom ( onde aprendi estas coisas ) : http://www.ime.usp.br/~is/atc/index.html lisongeado pela citação à navalha de Occan, esperando que os mais jovens não pensem se tratar de um concorrente da Gillete... As tiradas do Nehab ( um exemplo acima ) sao realmente geniais ... Um abraco a todos Paulo Santa Rita 3,0725,0C0807 Em 13/08/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu: Caro Fernando, E eu que achava que tinha alguma chance de deter o título de quase o mais antigo da lista... Nem com o quase. Tola pretensão... Gostaria de fazer apenas um comentário (além de naturalmente ter me sentido lisongeado pela citação à navalha de Occan, esperando que os mais jovens não pensem se tratar de um concorrente da Gillete...). Como esta lista é aberta, é natural que diversos temas mais especializados não possam ser abordados de forma a que todos o comprendam. Eu mesmo, embora tenha tido formação em Matemática (além da Engenharia Elétrica) ando de fato enferrujado. Já houve época (há uns 35/40 anos, quando eu frequentava o IMPA) em que eu dominava para valer assuntos como Análise Real, Topologia, Álgebra Linear (de verdade...), Álgebra (estruturas, não a álgebra colegial), etc. Mas, a verdade é que voltei a estudar, depois do meu último retorno à esta lista e isto foi ótimo.Espero voltar a dominar pelo menos uns 50% do que eu dominava... Mas não tenha dúvidas, esta lista é de longe a melhor lista da qual participo e se você (não vou chamá-lo de senhor!) desejar, poderemos conversar fora da Lista, e não será por falta de problemas que ficará triste... :-) Grande Abraço Nehab PS: Nicolau e Santa Rita já responderam a sua indagação, com enfoques diferentes, enriquecendo a todos. Eu de minha parte, não consegui compreender se você usa o termo aleatório para significar sem lei de formação aparente (e foram por ai as respostas de ambos) ou em algum outro sentido. At 09:53 13/8/2007, you wrote: Caro Ojesed Concordo com você quando diz que Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível. De certa maneira esta atitude inibe o debate. A mim parece que a lista engloba o que há de melhor na matemática brasileira. Mas também concordo com o juizo que faz do Nehab, e enfatizo sua capacidade de transmitir conhecimento, de solucionar problemas, com o mínimo de palavras e o máximo de clareza. Como se usasse a navalha de Occan duas vezes, a primeira para barbear e a segunda para escanhoar. Não sou matemático, sou um engenheiro aposentado, tenho 82 anos, mas gosto de garimpar pela lista, procurando problemas que estejam ao meu alcance, que , (devo admitir), são poucos. Uma vez manisfestei estranheza quanto a ausência de qualquer referência aos númeroos aleatários, em clássicos de análise que tratam da teoria do número real. Não obtive resposta. No entanto, aparentemente, esses números são os principais atores que justificam a não enumerabilidade dos números reais. Isso porque os inteiros, os racionais e os algébricos são enumerãveis como também os transcendentes que requerem um algoritmo finito para sua descrição. Pergunto, o que resta são os números aleatórios? Existe uma abordagem para esses números fora do cálculo das probablidades? Sds Fernando A Candeias Em 10/08/07, Ojesed Mirror [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Nehab, você é um educador como poucos pois consegue tratar assuntos desde o mais elementar, como este, até os que estão na fronteira do conhecimento com uma clareza invejável. Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível. Eu fico na dúvida se estou diante de pessoas que estão somente exibindo conhecimento ou se os assuntos estão sendo tratados da forma mais palatável possível e eu é que estou muito defasado da turma. Geralmente fico com a segunda opção. O fato é que uma minoria de pessoas geniais participam ativamente das discussões e a maioria observa. Se isto não fere o objetivo maior da existência desta lista, desculpem minha preocupação. Sds, Ojesed - Original Message - From: Carlos Eddy Esaguy Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, August 10, 2007 9:00 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica Oi, Ojesed , At 02:04 10/8/2007, you wrote: Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a média harmônica ponderada, com as massas sendo os ponderadores ? Sim, vale... Veja: A média harmônica das densidades, ponderadas pelas massas é, por definição: o
Re: [obm-l] Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica....
Caros Nicolau e Paulo Sinto-me como que caminhando em areia movediça, pois não domino o ferramental necessário para abordar o tema com segurança, correndo o risco de, repentinamente, derrapar para a metafísica. Talvez por isso, a ambiguidade na formulação do problema. Vejamos a anatomia do meu erro. Imaginava que seria possível definir um subconjunto dos números transcendentes, como sendo o dos números aleatórios com infinitos dígitos; e a esse segmento atribuir a responsabilidade pela não enumerabilidade do contínuo, mais ou menos por um processo de exclusão. Mas agora percebo que este conjunto simplesmente não pode ser construido como uma partição. Isso porque um número aleatório é aquele cujos dígitos, em número finito ou não, são gerados por processo aleatório, ou seja sem nenhum vínculo com os dígitos anteriores ou com o lugar que ocupa no número em questão. O que significa que qualquer dígito tem uma probabilidade 1/b de ser escolhido entre os b algarismos que compõe a base do sistem de numeração adotado. Todavia, uma vez gerado, um número aleatório passa a ser é um número real, como outro qualquer. Não há como, teoricamente, pela simples inspeção de um número real, dizer a posteriori, se ele foi gerado por processo aleatório ou não. Em 13/08/07, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Mon, Aug 13, 2007 at 53:47AM -0300, Fernando A Candeias wrote: Uma vez manisfestei estranheza quanto a ausência de qualquer referência aos númeroos aleatários, em clássicos de análise que tratam da teoria do número real.* * Não obtive resposta. No entanto, aparentemente, esses números são os principais atores que justificam a não enumerabilidade dos números reais. Isso porque os inteiros, os racionais e os algébricos são enumerãveis como também os transcendentes que requerem um algoritmo finito para sua descrição. Pergunto, o que resta são os números aleatórios? Existe uma abordagem para esses números fora do cálculo das probablidades? De fato, só uma quantidade enumerável de reais podem ser caracterizados por uma expressão finita. Está muito longe de ser verdade, entretanto, que os demais sejam em qualquer sentido razoável aleatórios. Por exemplo, há uma quantidade não enumerável de reais cuja expansão decimal inclui apenas os algarismos 3 e 7 (digamos). Se a_n for o número de algarismos 3 dentre os n primeiros algarismos, há uma quantidade não enumerável de reais para os quais lim sup a_n/n = 1, lim inf a_n/n = 0. Acho que estes não podem ser chamados de aleatórios. Talvez você esteja interessado no conceito de números normais. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Fernando A Candeias
Re: [obm-l] Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica....
Ola Fernando e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Muito bom ouvir voce falar assim ... por oportuno faco votos que
voce inicie novos estudos com o objetivo de sanar estas deficiencias.
Ja pensou em iniciar uma graduacao em Matematica Pura ? A sua verve e
articulacao sugerem que voce tem lucidez mais que suficiente para isso
...
Na medida do ( meu tempo ) possivel vou responder suas mensagens.
Se bem entendi a sua mensagem, e correto a sua observacao de que nao e
possivel fazer uma particao nos moldes que voce imaginou. Para ver
isso claramente, considere os conjuntos :
A = { reais irracionais transcendentes }
B = { reais não computaveis }
Não ocorre que A esta contido em B, pois, por exemplo, pi esta em A
mas não esta em B, pois pi e computavel. Agora : B esta contido em A
? Obviamente que não ... Basta considerar o resultado do sorteio de um
numero do conjunto { 1,2, ..., 9 }. Este resultado e claramente um
numero não computavel e, no entanto, não e irracional transcendente
...
Como voce ve, a relacao entre A e B não e simples. Por outro lado,
analisando a prova da existencia de numeros não computaveis e facil
perceber que o numero em consideracao não e racional, ou seja, existem
irracionais não computaveis.
A essencia da sua duvida parece-me esta no binomio PROCESSO ALEATORIO
x NUMERO NAO COMPUTAVEL. E possivel gerar numeros nao computaveis
atraves de processos aleatorios, mas nao esta ainda suficientemente
claro como e possivel construir numeros nao computaveis atraveis de
processos deterministicos ... Note que ser NAO COMPUTAVEL nao faz
referencia, em nenhum momento, a questoes de eficacia, eficiencia e
viabilidade, conceitos tao caros a tecnicos e engenheiros.
Exemplo : Seja C= (1000^1000)^1000 e considere o C-esimo algarismo na
representacao decimal de pi. Este numero e computavel ? Resposta :
e computavel. Mas, e possivel, de forma eficiente, saber quem ele e ?
Resposta : nao. Pois os algoritmos que conhecemos que nos permitem
determinar o N-esimo algarismo na representacao decimal de pi
gastariam quase uma eternidade ( tempo muito maior que a idade do
planeta Terra, nos computadores atuais ) para chegar a esse numero.
Fixe portanto isso : o fato de um numero nao ser computavel nao
significa que os seus digitos foram gerados por um processo aleatorio.
Alias, no primeiro paper que eu citei na minha mensagem anterior ha
uma clara sugestao para a construcao de um numero nao computavel
determinado por um processo deterministico.
Eu acredito firmemente que estes conceitos precisam ser aperfeicoados
para que tenhamos uma compreensao melhor deste tema.
Um Abraco a todos
Paulo Santa Rita
3,1116,0B0807
Em 14/08/07, Fernando A Candeias[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Caros Nicolau e Paulo
Sinto-me como que caminhando em areia movediça, pois não domino o
ferramental necessário para abordar o tema com segurança, correndo o risco
de, repentinamente, derrapar para a metafísica. Talvez por isso, a
ambiguidade na formulação do problema.
Vejamos a anatomia do meu erro. Imaginava que seria possível definir um
subconjunto dos números transcendentes, como sendo o dos números aleatórios
com infinitos dígitos; e a esse segmento atribuir a responsabilidade pela
não enumerabilidade do contínuo, mais ou menos por um processo de exclusão.
Mas agora percebo que este conjunto simplesmente não pode ser construido
como uma partição. Isso porque um número aleatório é aquele cujos dígitos,
em número finito ou não, são gerados por processo aleatório, ou seja sem
nenhum vínculo com os dígitos anteriores ou com o lugar que ocupa no número
em questão. O que significa que qualquer dígito tem uma probabilidade 1/b
de ser escolhido entre os b algarismos que compõe a base do sistem de
numeração adotado. Todavia, uma vez gerado, um número aleatório passa a
ser é um número real, como outro qualquer. Não há como, teoricamente, pela
simples inspeção de um número real, dizer a posteriori, se ele foi gerado
por processo aleatório ou não.
Em 13/08/07, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu:
On Mon, Aug 13, 2007 at 53:47AM -0300, Fernando A Candeias wrote:
Uma vez manisfestei estranheza quanto a ausência de qualquer referência
aos
númeroos aleatários, em clássicos de análise que tratam da teoria do
número
real.* * Não obtive resposta. No entanto, aparentemente, esses números
são
os principais atores que justificam a não enumerabilidade dos números
reais.
Isso porque os inteiros, os racionais e os algébricos são enumerãveis
como
também os transcendentes que requerem um algoritmo finito para sua
descrição. Pergunto, o que resta são os números aleatórios? Existe uma
abordagem para esses números fora do cálculo das probablidades?
De fato, só uma quantidade enumerável de reais podem ser caracterizados
por uma expressão finita. Está muito longe de ser verdade, entretanto,
que os demais sejam em qualquer sentido razoável aleatórios.
Por exemplo, há uma
Re: [obm-l] Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica....
Caro Ojesed Concordo com você quando diz que * **Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível. * De certa maneira esta atitude inibe o debate. A mim parece que a lista engloba o que há de melhor na matemática brasileira. Mas também concordo com o juizo que faz do Nehab, e enfatizo sua capacidade de transmitir conhecimento, de solucionar problemas, com o mínimo de palavras e o máximo de clareza. Como se usasse a navalha de Occan duas vezes, a primeira para barbear e a segunda para escanhoar. Não sou matemático, sou um engenheiro aposentado, tenho 82 anos, mas gosto de garimpar pela lista, procurando problemas que estejam ao meu alcance, que , (devo admitir), são poucos. Uma vez manisfestei estranheza quanto a ausência de qualquer referência aos númeroos aleatários, em clássicos de análise que tratam da teoria do número real.* * Não obtive resposta. No entanto, aparentemente, esses números são os principais atores que justificam a não enumerabilidade dos números reais. Isso porque os inteiros, os racionais e os algébricos são enumerãveis como também os transcendentes que requerem um algoritmo finito para sua descrição. Pergunto, o que resta são os números aleatórios? Existe uma abordagem para esses números fora do cálculo das probablidades? Sds Fernando A Candeias Em 10/08/07, Ojesed Mirror [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Nehab, você é um educador como poucos pois consegue tratar assuntos desde o mais elementar, como este, até os que estão na fronteira do conhecimento com uma clareza invejável. Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível. Eu fico na dúvida se estou diante de pessoas que estão somente exibindo conhecimento ou se os assuntos estão sendo tratados da forma mais palatável possível e eu é que estou muito defasado da turma. Geralmente fico com a segunda opção. O fato é que uma minoria de pessoas geniais participam ativamente das discussões e a maioria observa. Se isto não fere o objetivo maior da existência desta lista, desculpem minha preocupação. Sds, Ojesed - Original Message - *From:* Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Friday, August 10, 2007 9:00 AM *Subject:* Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica Oi, Ojesed , At 02:04 10/8/2007, you wrote: Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a média harmônica ponderada, com as massas sendo os ponderadores ? Sim, vale... Veja: A média harmônica das densidades, ponderadas pelas massas é, por definição: o inverso da média aritmética ponderada (pesos m1 e m2) dos inversos das densidades d1 e d2. Ou seja: É o inverso de [ m1 x (1/d1) + m2 x (1/d2) ] / (m1 + m2) que vale (m1+m2) / [ (m1/d1 + m2/d2) ] Mas esta expressão é exatamente a densidade média, pois é a massa total (m1+m2) dividida pelo volume total (m1/d1 + m2/d2). Abraços, Nehab - Original Message - From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA Oi, Arkon, Ponce e Desejo... Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui... Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para não parecer um negócio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele já adquiriu a malicia que eu acho legal. Na Física a média harmônica ocorre com freqüência, pois ela é usual em todas as situações onde a grandeza da qual se deseja calcular a média é o quociente entre duas variáveis e vejamos: Velocidade é distância / tempo... Densidade é massa / volume, resistência = voltagem/ corrente ... Logo, se desejamos calcular velocidade média, densidade média, resistência equivalente, fatalmente a média harmônica entra na jogada (caso os valores das distâncias, volumes ou voltagens sejam iguais e isto ocorre na ligação em paralelo - como as voltagens não se somam, a resistência equivalente é o dobro da média harmônica...), posto que velocidade média = dist total / tempo total; densidade final = massa total / volume total... e resistencia = mesma voltagem / corrente total Vejamos um exemplinho clássico (o outro é o do Arkon, posto que se misturam iguais quantidades de MASSA...) Você vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta a 90 km/h. Qual sua velocidade média? Ora, você está querendo medir velocidade média, mas a variável chave, que é o tempo, está no denominador das velocidades e as duas distâncias, de ida e de volta são iguais ... Logo a velocidade média (vm) é a média harmônica. Veja: vm = distância total / tempo
Re: [obm-l] Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica....
Ola Fernando e demais colegas desta lista ... OBM-L, Nao tenho certeza se entendi corretamente a sua mensagem ... parece-me que voce esta identificando NUMERO ALEATORIO com NUMERO NAO-COMPUTAVEL. E isso ? Se for, a resposta a sua pergunta e facil. Vejamos : Um numero e COMPUTAVEL se existe um algoritmo que fornece os seus digitos em uma base qualquer. Um numero pode ser irracional ( e, mesmo, transcendente ) e computavel, tal como o famoso pi=3,14 ... Existem muitos outros irracionais computaveis, mas nao sabemos ainda caracterizar todos irracionais computaveis ! Assim, NAO PODEMOS simplesmente dizer que os numeros NAO-COMPUTAVEIS sao a causa da nao enumerabilidade dos numeros reais. Alem disso, atualmente, para o trabalho comum de estudo em Analise, a computabilidade dos numeros nao e um conceito fundamental para a compreensao das bases deste ramo da Matematica, o que, me parece, justifica a falta de referencia a este conceito na imensa maioria dos bons livros sobre este assunto : as definicoes usuais sao suficiente para justificar as propriedades mais habituais que usamos. Muitas vezes nos pensamos que entendemos bem os numeros reais, mas, parafraseando Shakespeare ( Hamlet ), eu diria que neles ha muito mais coisa do que supoe a nossa ainda maravilhosa Filosofia ( Matematica ) Um Abraco Paulo Santa Rita 2,4015,130207 Em 13/08/07, Fernando A Candeias[EMAIL PROTECTED] escreveu: Caro Ojesed Concordo com você quando diz que Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível. De certa maneira esta atitude inibe o debate. A mim parece que a lista engloba o que há de melhor na matemática brasileira. Mas também concordo com o juizo que faz do Nehab, e enfatizo sua capacidade de transmitir conhecimento, de solucionar problemas, com o mínimo de palavras e o máximo de clareza. Como se usasse a navalha de Occan duas vezes, a primeira para barbear e a segunda para escanhoar. Não sou matemático, sou um engenheiro aposentado, tenho 82 anos, mas gosto de garimpar pela lista, procurando problemas que estejam ao meu alcance, que , (devo admitir), são poucos. Uma vez manisfestei estranheza quanto a ausência de qualquer referência aos númeroos aleatários, em clássicos de análise que tratam da teoria do número real. Não obtive resposta. No entanto, aparentemente, esses números são os principais atores que justificam a não enumerabilidade dos números reais. Isso porque os inteiros, os racionais e os algébricos são enumerãveis como também os transcendentes que requerem um algoritmo finito para sua descrição. Pergunto, o que resta são os números aleatórios? Existe uma abordagem para esses números fora do cálculo das probablidades? Sds Fernando A Candeias Em 10/08/07, Ojesed Mirror [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Nehab, você é um educador como poucos pois consegue tratar assuntos desde o mais elementar, como este, até os que estão na fronteira do conhecimento com uma clareza invejável. Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível. Eu fico na dúvida se estou diante de pessoas que estão somente exibindo conhecimento ou se os assuntos estão sendo tratados da forma mais palatável possível e eu é que estou muito defasado da turma. Geralmente fico com a segunda opção. O fato é que uma minoria de pessoas geniais participam ativamente das discussões e a maioria observa. Se isto não fere o objetivo maior da existência desta lista, desculpem minha preocupação. Sds, Ojesed - Original Message - From: Carlos Eddy Esaguy Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, August 10, 2007 9:00 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica Oi, Ojesed , At 02:04 10/8/2007, you wrote: Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a média harmônica ponderada, com as massas sendo os ponderadores ? Sim, vale... Veja: A média harmônica das densidades, ponderadas pelas massas é, por definição: o inverso da média aritmética ponderada (pesos m1 e m2) dos inversos das densidades d1 e d2. Ou seja: É o inverso de [ m1 x (1/d1) + m2 x (1/d2) ] / (m1 + m2) que vale (m1+m2) / [ (m1/d1 + m2/d2) ] Mas esta expressão é exatamente a densidade média, pois é a massa total (m1+m2) dividida pelo volume total (m1/d1 + m2/d2). Abraços, Nehab - Original Message - From: Carlos Eddy Esaguy Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA Oi, Arkon, Ponce e Desejo... Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui... Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é extremamente oportuno sugerir
Re: [obm-l] Re: [obm-l] BETONEIRA e a m�dia harm�nica.... off-topic
Caro Fernando, E eu que achava que tinha alguma chance de deter o título de quase o mais antigo da lista... Nem com o quase. Tola pretensão... Gostaria de fazer apenas um comentário (além de naturalmente ter me sentido lisongeado pela citação à navalha de Occan, esperando que os mais jovens não pensem se tratar de um concorrente da Gillete...). Como esta lista é aberta, é natural que diversos temas mais especializados não possam ser abordados de forma a que todos o comprendam. Eu mesmo, embora tenha tido formação em Matemática (além da Engenharia Elétrica) ando de fato enferrujado. Já houve época (há uns 35/40 anos, quando eu frequentava o IMPA) em que eu dominava para valer assuntos como Análise Real, Topologia, Álgebra Linear (de verdade...), Álgebra (estruturas, não a álgebra colegial), etc. Mas, a verdade é que voltei a estudar, depois do meu último retorno à esta lista e isto foi ótimo.Espero voltar a dominar pelo menos uns 50% do que eu dominava... Mas não tenha dúvidas, esta lista é de longe a melhor lista da qual participo e se você (não vou chamá-lo de senhor!) desejar, poderemos conversar fora da Lista, e não será por falta de problemas que ficará triste... :-) Grande Abraço Nehab PS: Nicolau e Santa Rita já responderam a sua indagação, com enfoques diferentes, enriquecendo a todos. Eu de minha parte, não consegui compreender se você usa o termo aleatório para significar sem lei de formação aparente (e foram por ai as respostas de ambos) ou em algum outro sentido. At 09:53 13/8/2007, you wrote: Caro Ojesed Concordo com você quando diz que Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível. De certa maneira esta atitude inibe o debate. A mim parece que a lista engloba o que há de melhor na matemática brasileira. Mas também concordo com o juizo que faz do Nehab, e enfatizo sua capacidade de transmitir conhecimento, de solucionar problemas, com o mínimo de palavras e o máximo de clareza. Como se usasse a navalha de Occan duas vezes, a primeira para barbear e a segunda para escanhoar. Não sou matemático, sou um engenheiro aposentado, tenho 82 anos, mas gosto de garimpar pela lista, procurando problemas que estejam ao meu alcance, que , (devo admitir), são poucos. Uma vez manisfestei estranheza quanto a ausência de qualquer referência aos númeroos aleatários, em clássicos de análise que tratam da teoria do número real. Não obtive resposta. No entanto, aparentemente, esses números são os principais atores que justificam a não enumerabilidade dos números reais. Isso porque os inteiros, os racionais e os algébricos são enumerãveis como também os transcendentes que requerem um algoritmo finito para sua descrição. Pergunto, o que resta são os números aleatórios? Existe uma abordagem para esses números fora do cálculo das probablidades? Sds Fernando A Candeias Em 10/08/07, Ojesed Mirror mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Nehab, você é um educador como poucos pois consegue tratar assuntos desde o mais elementar, como este, até os que estão na fronteira do conhecimento com uma clareza invejável. Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível. Eu fico na dúvida se estou diante de pessoas que estão somente exibindo conhecimento ou se os assuntos estão sendo tratados da forma mais palatável possível e eu é que estou muito defasado da turma. Geralmente fico com a segunda opção. O fato é que uma minoria de pessoas geniais participam ativamente das discussões e a maioria observa. Se isto não fere o objetivo maior da existência desta lista, desculpem minha preocupação. Sds, Ojesed - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Carlos Eddy Esaguy Nehab To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, August 10, 2007 9:00 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica Oi, Ojesed , At 02:04 10/8/2007, you wrote: Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a média harmônica ponderada, com as massas sendo os ponderadores ? Sim, vale... Veja: A média harmônica das densidades, ponderadas pelas massas é, por definição: o inverso da média aritmética ponderada (pesos m1 e m2) dos inversos das densidades d1 e d2. Ou seja: É o inverso de [ m1 x (1/d1) + m2 x (1/d2) ] / (m1 + m2) que vale (m1+m2) / [ (m1/d1 + m2/d2) ] Mas esta expressão é exatamente a densidade média, pois é a massa total (m1+m2) dividida pelo volume total (m1/d1 + m2/d2). Abraços, Nehab - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Carlos Eddy Esaguy Nehab To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA Oi, Arkon, Ponce e Desejo... Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta
[obm-l] Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica....
Olá Nehab, você é um educador como poucos pois consegue tratar assuntos desde o mais elementar, como este, até os que estão na fronteira do conhecimento com uma clareza invejável. Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível. Eu fico na dúvida se estou diante de pessoas que estão somente exibindo conhecimento ou se os assuntos estão sendo tratados da forma mais palatável possível e eu é que estou muito defasado da turma. Geralmente fico com a segunda opção. O fato é que uma minoria de pessoas geniais participam ativamente das discussões e a maioria observa. Se isto não fere o objetivo maior da existência desta lista, desculpem minha preocupação. Sds, Ojesed - Original Message - From: Carlos Eddy Esaguy Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, August 10, 2007 9:00 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica Oi, Ojesed , At 02:04 10/8/2007, you wrote: Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a média harmônica ponderada, com as massas sendo os ponderadores ? Sim, vale... Veja: A média harmônica das densidades, ponderadas pelas massas é, por definição: o inverso da média aritmética ponderada (pesos m1 e m2) dos inversos das densidades d1 e d2. Ou seja: É o inverso de [ m1 x (1/d1) + m2 x (1/d2) ] / (m1 + m2) que vale (m1+m2) / [ (m1/d1 + m2/d2) ] Mas esta expressão é exatamente a densidade média, pois é a massa total (m1+m2) dividida pelo volume total (m1/d1 + m2/d2). Abraços, Nehab - Original Message - From: Carlos Eddy Esaguy Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA Oi, Arkon, Ponce e Desejo... Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui... Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para não parecer um negócio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele já adquiriu a malicia que eu acho legal. Na Física a média harmônica ocorre com freqüência, pois ela é usual em todas as situações onde a grandeza da qual se deseja calcular a média é o quociente entre duas variáveis e vejamos: Velocidade é distância / tempo... Densidade é massa / volume, resistência = voltagem/ corrente ... Logo, se desejamos calcular velocidade média, densidade média, resistência equivalente, fatalmente a média harmônica entra na jogada (caso os valores das distâncias, volumes ou voltagens sejam iguais e isto ocorre na ligação em paralelo - como as voltagens não se somam, a resistência equivalente é o dobro da média harmônica...), posto que velocidade média = dist total / tempo total; densidade final = massa total / volume total... e resistencia = mesma voltagem / corrente total Vejamos um exemplinho clássico (o outro é o do Arkon, posto que se misturam iguais quantidades de MASSA...) Você vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta a 90 km/h. Qual sua velocidade média? Ora, você está querendo medir velocidade média, mas a variável chave, que é o tempo, está no denominador das velocidades e as duas distâncias, de ida e de volta são iguais ... Logo a velocidade média (vm) é a média harmônica. Veja: vm = distância total / tempo total = (d1 + d2) / (t1 + t2) (A) Ocorre que t1 = d1 /v1 e t2 = d2/v2 Levando estas expressoes em (A) voce obtem dist total / tempo total = (x + x) / [x/v1 + x/v2] = 2v1.v2 (v1+v2) que é a média harmônica... Abraços, Nehab At 22:39 8/8/2007, you wrote: A densidade total é a média harmônica das densidades parciais. - Original Message - From: arkon To: obm-l Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM Subject: [obm-l] BETONEIRA Alguém pode resolver esta, por favor: Uma betoneira está sendo preparada para produzir concreto. Receberá iguais quantidades, em massa, de areia, cimento e brita de densidades iguais a 1,5; 1,3 e 2,4, respectivamente. Calcular a densidade do concreto que vai ser produzido pela betoneira. Multiplique o resultado por 10 e despreze a parte fracionária, caso exista. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.476 / Virus Database: 269.11.8/941 - Release Date: 7/8/2007 16:06 No virus found
Re: [obm-l] BETONEIRA e a m�dia harm�nica....
Oi, Ojesed , At 02:04 10/8/2007, you wrote: Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a média harmônica ponderada, com as massas sendo os ponderadores ? Sim, vale... Veja: A média harmônica das densidades, ponderadas pelas massas é, por definição: o inverso da média aritmética ponderada (pesos m1 e m2) dos inversos das densidades d1 e d2. Ou seja: É o inverso de [ m1 x (1/d1) + m2 x (1/d2) ] / (m1 + m2) que vale (m1+m2) / [ (m1/d1 + m2/d2) ] Mas esta expressão é exatamente a densidade média, pois é a massa total (m1+m2) dividida pelo volume total (m1/d1 + m2/d2). Abraços, Nehab - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Carlos Eddy Esaguy Nehab To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA Oi, Arkon, Ponce e Desejo... Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui... Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para não parecer um negócio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele já adquiriu a malicia que eu acho legal. Na Física a média harmônica ocorre com freqüência, pois ela é usual em todas as situações onde a grandeza da qual se deseja calcular a média é o quociente entre duas variáveis e vejamos: Velocidade é distância / tempo... Densidade é massa / volume, resistência = voltagem/ corrente ... Logo, se desejamos calcular velocidade média, densidade média, resistência equivalente, fatalmente a média harmônica entra na jogada (caso os valores das distâncias, volumes ou voltagens sejam iguais e isto ocorre na ligação em paralelo - como as voltagens não se somam, a resistência equivalente é o dobro da média harmônica...), posto que velocidade média = dist total / tempo total; densidade final = massa total / volume total... e resistencia = mesma voltagem / corrente total Vejamos um exemplinho clássico (o outro é o do Arkon, posto que se misturam iguais quantidades de MASSA...) Você vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta a 90 km/h. Qual sua velocidade média? Ora, você está querendo medir velocidade média, mas a variável chave, que é o tempo, está no denominador das velocidades e as duas distâncias, de ida e de volta são iguais ... Logo a velocidade média (vm) é a média harmônica. Veja: vm = distância total / tempo total = (d1 + d2) / (t1 + t2) (A) Ocorre que t1 = d1 /v1 e t2 = d2/v2 Levando estas expressoes em (A) voce obtem dist total / tempo total = (x + x) / [x/v1 + x/v2] = 2v1.v2 (v1+v2) que é a média harmônica... Abraços, Nehab At 22:39 8/8/2007, you wrote: A densidade total é a média harmônica das densidades parciais. - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]arkon To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM Subject: [obm-l] BETONEIRA Alguém pode resolver esta, por favor: Uma betoneira está sendo preparada para produzir concreto. Receberá iguais quantidades, em massa, de areia, cimento e brita de densidades iguais a 1,5; 1,3 e 2,4, respectivamente. Calcular a densidade do concreto que vai ser produzido pela betoneira. Multiplique o resultado por 10 e despreze a parte fracionária, caso exista. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.476 / Virus Database: 269.11.8/941 - Release Date: 7/8/2007 16:06 -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.476 / Virus Database: 269.11.8/941 - Release Date: 7/8/2007 16:06
Re: [obm-l] Re: [obm-l] BETONEIRA e a m�dia harm�nica....
Oi, Ojesed Fico muito orgulhoso (de verdade) pelo comentário, pois meu grande barato é de fato a sala de aula e o resolver problemas está em segundo lugar (papai do céu é esperto, pois me deu muito mais aptidão para ensinar do que para resolver problemas). Mas ainda bem que você e outros suprem minhas dificuldades aqui e acolá, pois o que eu não consigo fazer vocês da Lista conseguem. Um grande abraço, Nehab At 17:06 10/8/2007, you wrote: Olá Nehab, você é um educador como poucos pois consegue tratar assuntos desde o mais elementar, como este, até os que estão na fronteira do conhecimento com uma clareza invejável. Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível. Eu fico na dúvida se estou diante de pessoas que estão somente exibindo conhecimento ou se os assuntos estão sendo tratados da forma mais palatável possível e eu é que estou muito defasado da turma. Geralmente fico com a segunda opção. O fato é que uma minoria de pessoas geniais participam ativamente das discussões e a maioria observa. Se isto não fere o objetivo maior da existência desta lista, desculpem minha preocupação. Sds, Ojesed - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Carlos Eddy Esaguy Nehab To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, August 10, 2007 9:00 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica Oi, Ojesed , At 02:04 10/8/2007, you wrote: Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a média harmônica ponderada, com as massas sendo os ponderadores ? Sim, vale... Veja: A média harmônica das densidades, ponderadas pelas massas é, por definição: o inverso da média aritmética ponderada (pesos m1 e m2) dos inversos das densidades d1 e d2. Ou seja: É o inverso de [ m1 x (1/d1) + m2 x (1/d2) ] / (m1 + m2) que vale (m1+m2) / [ (m1/d1 + m2/d2) ] Mas esta expressão é exatamente a densidade média, pois é a massa total (m1+m2) dividida pelo volume total (m1/d1 + m2/d2). Abraços, Nehab - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Carlos Eddy Esaguy Nehab To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA Oi, Arkon, Ponce e Desejo... Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui... Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para não parecer um negócio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele já adquiriu a malicia que eu acho legal. Na Física a média harmônica ocorre com freqüência, pois ela é usual em todas as situações onde a grandeza da qual se deseja calcular a média é o quociente entre duas variáveis e vejamos: Velocidade é distância / tempo... Densidade é massa / volume, resistência = voltagem/ corrente ... Logo, se desejamos calcular velocidade média, densidade média, resistência equivalente, fatalmente a média harmônica entra na jogada (caso os valores das distâncias, volumes ou voltagens sejam iguais e isto ocorre na ligação em paralelo - como as voltagens não se somam, a resistência equivalente é o dobro da média harmônica...), posto que velocidade média = dist total / tempo total; densidade final = massa total / volume total... e resistencia = mesma voltagem / corrente total Vejamos um exemplinho clássico (o outro é o do Arkon, posto que se misturam iguais quantidades de MASSA...) Você vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta a 90 km/h. Qual sua velocidade média? Ora, você está querendo medir velocidade média, mas a variável chave, que é o tempo, está no denominador das velocidades e as duas distâncias, de ida e de volta são iguais ... Logo a velocidade média (vm) é a média harmônica. Veja: vm = distância total / tempo total = (d1 + d2) / (t1 + t2) (A) Ocorre que t1 = d1 /v1 e t2 = d2/v2 Levando estas expressoes em (A) voce obtem dist total / tempo total = (x + x) / [x/v1 + x/v2] = 2v1.v2 (v1+v2) que é a média harmônica... Abraços, Nehab At 22:39 8/8/2007, you wrote: A densidade total é a média harmônica das densidades parciais. - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]arkon To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM Subject: [obm-l] BETONEIRA Alguém pode resolver esta, por favor: Uma betoneira está sendo preparada para produzir concreto. Receberá iguais quantidades, em massa, de areia, cimento e brita de densidades iguais a 1,5; 1,3 e 2,4, respectivamente. Calcular a densidade do concreto que vai ser produzido pela betoneira. Multiplique o resultado por 10 e despreze a parte fracionária, caso exista. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG
Re: [obm-l] BETONEIRA
Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a média harmônica ponderada, com as massas sendo os ponderadores ? - Original Message - From: Carlos Eddy Esaguy Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA Oi, Arkon, Ponce e Desejo... Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui... Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para não parecer um negócio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele já adquiriu a malicia que eu acho legal. Na Física a média harmônica ocorre com freqüência, pois ela é usual em todas as situações onde a grandeza da qual se deseja calcular a média é o quociente entre duas variáveis e vejamos: Velocidade é distância / tempo... Densidade é massa / volume, resistência = voltagem/ corrente ... Logo, se desejamos calcular velocidade média, densidade média, resistência equivalente, fatalmente a média harmônica entra na jogada (caso os valores das distâncias, volumes ou voltagens sejam iguais e isto ocorre na ligação em paralelo - como as voltagens não se somam, a resistência equivalente é o dobro da média harmônica...), posto que velocidade média = dist total / tempo total; densidade final = massa total / volume total... e resistencia = mesma voltagem / corrente total Vejamos um exemplinho clássico (o outro é o do Arkon, posto que se misturam iguais quantidades de MASSA...) Você vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta a 90 km/h. Qual sua velocidade média? Ora, você está querendo medir velocidade média, mas a variável chave, que é o tempo, está no denominador das velocidades e as duas distâncias, de ida e de volta são iguais ... Logo a velocidade média (vm) é a média harmônica. Veja: vm = distância total / tempo total = (d1 + d2) / (t1 + t2) (A) Ocorre que t1 = d1 /v1 e t2 = d2/v2 Levando estas expressoes em (A) voce obtem dist total / tempo total = (x + x) / [x/v1 + x/v2] = 2v1.v2 (v1+v2) que é a média harmônica... Abraços, Nehab At 22:39 8/8/2007, you wrote: A densidade total é a média harmônica das densidades parciais. - Original Message - From: arkon To: obm-l Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM Subject: [obm-l] BETONEIRA Alguém pode resolver esta, por favor: Uma betoneira está sendo preparada para produzir concreto. Receberá iguais quantidades, em massa, de areia, cimento e brita de densidades iguais a 1,5; 1,3 e 2,4, respectivamente. Calcular a densidade do concreto que vai ser produzido pela betoneira. Multiplique o resultado por 10 e despreze a parte fracionária, caso exista. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.476 / Virus Database: 269.11.8/941 - Release Date: 7/8/2007 16:06 -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.476 / Virus Database: 269.11.8/941 - Release Date: 7/8/2007 16:06
Re: [obm-l] BETONEIRA
Ola' Arkon, os volumes recebidos serao proporcionais aos inversos das densidades, ou seja, para uma mesma massa M de areia, cimento e brita, os volumes serao M/1.5 , M/1.3 e M/2.4, ou seja, para uma massa total de 3M , o volume total e' M*(1/1.5 + 1/1.3 + 1/2.4) = M*(2/3 + 10/13 + 5/12) Assim, esse concreto tem a densidade de 3/(2/3 + 10/13 + 5/12) =~ 1.6194 Portanto a resposta e' 16. []'s Rogerio Ponce arkon [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguém pode resolver esta, por favor: Uma betoneira está sendo preparada para produzir concreto. Receberá iguais quantidades, em massa, de areia, cimento e brita de densidades iguais a 1,5; 1,3 e 2,4, respectivamente. Calcular a densidade do concreto que vai ser produzido pela betoneira. Multiplique o resultado por 10 e despreze a parte fracionária, caso exista. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
Re: [obm-l] BETONEIRA
A densidade total é a média harmônica das densidades parciais. - Original Message - From: arkon To: obm-l Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM Subject: [obm-l] BETONEIRA Alguém pode resolver esta, por favor: Uma betoneira está sendo preparada para produzir concreto. Receberá iguais quantidades, em massa, de areia, cimento e brita de densidades iguais a 1,5; 1,3 e 2,4, respectivamente. Calcular a densidade do concreto que vai ser produzido pela betoneira. Multiplique o resultado por 10 e despreze a parte fracionária, caso exista. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.476 / Virus Database: 269.11.8/941 - Release Date: 7/8/2007 16:06
Re: [obm-l] BETONEIRA
Oi, Arkon, Ponce e Desejo... Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui... Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para não parecer um negócio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele já adquiriu a malicia que eu acho legal. Na Física a média harmônica ocorre com freqüência, pois ela é usual em todas as situações onde a grandeza da qual se deseja calcular a média é o quociente entre duas variáveis e vejamos: Velocidade é distância / tempo... Densidade é massa / volume, resistência = voltagem/ corrente ... Logo, se desejamos calcular velocidade média, densidade média, resistência equivalente, fatalmente a média harmônica entra na jogada (caso os valores das distâncias, volumes ou voltagens sejam iguais e isto ocorre na ligação em paralelo - como as voltagens não se somam, a resistência equivalente é o dobro da média harmônica...), posto que velocidade média = dist total / tempo total; densidade final = massa total / volume total... e resistencia = mesma voltagem / corrente total Vejamos um exemplinho clássico (o outro é o do Arkon, posto que se misturam iguais quantidades de MASSA...) Você vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta a 90 km/h. Qual sua velocidade média? Ora, você está querendo medir velocidade média, mas a variável chave, que é o tempo, está no denominador das velocidades e as duas distâncias, de ida e de volta são iguais ... Logo a velocidade média (vm) é a média harmônica. Veja: vm = distância total / tempo total = (d1 + d2) / (t1 + t2) (A) Ocorre que t1 = d1 /v1 e t2 = d2/v2 Levando estas expressoes em (A) voce obtem dist total / tempo total = (x + x) / [x/v1 + x/v2] = 2v1.v2 (v1+v2) que é a média harmônica... Abraços, Nehab At 22:39 8/8/2007, you wrote: A densidade total é a média harmônica das densidades parciais. - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]arkon To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM Subject: [obm-l] BETONEIRA Alguém pode resolver esta, por favor: Uma betoneira está sendo preparada para produzir concreto. Receberá iguais quantidades, em massa, de areia, cimento e brita de densidades iguais a 1,5; 1,3 e 2,4, respectivamente. Calcular a densidade do concreto que vai ser produzido pela betoneira. Multiplique o resultado por 10 e despreze a parte fracionária, caso exista. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.476 / Virus Database: 269.11.8/941 - Release Date: 7/8/2007 16:06
