Re: [obm-l] Problema sobre Derivadas
Olá, Claudio! Olá, Gabriel! Muito obrigado pela ajuda! Tudo ficou claro agora! Abraços Luiz On Fri, Aug 30, 2019, 3:15 PM Claudio Buffara wrote: > h'(x) = g'(f(x))*f'(x) ==> h'(3) = g'(f(3))*f'(3) = g'(5)*3 = 4*3 = 12. > > Imagino que a sua dificuldade esteja em como aplicar a regra da cadeia, > que nos livros de cálculo é normalmente enunciada como: > dy/dx = dy/du * du/dx (*) > sem especificar quem são os argumentos (variáveis independentes) das > funções e nem em que pontos as derivadas são calculadas. > > A fórmula que escrevi acima explicita isso: h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) > ==> h'(x) = g'(f(x))*f'(x). > Assim, a derivada de h no ponto x = a, é dada por h'(a) = g'(f(a))*f'(a) > > Na fórmula (*) está implícito (mas deveria ser explicitado pelo autor do > livro) que y é uma função (digamos, g) do argumento u, e u, por sua vez, é > uma função (digamos, f) do argumento x. > Logo, y = g(u) e u = f(x), o que implica que y = g(f(x)). > Se queremos calcular dy/dx (a derivada de y em relação a x) no ponto x = > a, de fato, queremos a derivada da função composta gof no ponto x = a. > > Ou seja, dy/dx(x=a) = (gof)'(a) > > Em (*), dy/du é a derivada de g em relação a u, calculada no ponto u = > f(a) ==> dy/du(u=f(a)) = g'(f(a)). > E du/dx é a derivada de f em relação a x, calculada no ponto x = a ==> > du/dx(x=a) = f'(a). > > Assim, os livros de cálculo que apresentassem a fórmula (*) deveriam, no > mínimo, escrevê-la como: > dy/dx(x=a) = dy/du(u=u(a)) * du/dx(x=a) > Ou seja, explicitando em que ponto cada derivada é calculada. > > Espero que isso tenha ajudado. > > []s, > Claudio. > > > On Fri, Aug 30, 2019 at 2:16 PM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> Boa tarde! >> Tudo bem? >> Estou confuso com o problema abaixo. >> Alguém pode me ajudar? >> Reconheço que tenho falhas graves em Cálculo e aproveito para pedir uma >> indicação de material para estudar. >> Muito obrigado! >> >> Temos duas funções f e g e sabemos que: >> >> f(3)=5 >> f'(3)=3 >> >> f(4)=2 >> f'(4)= -3 >> >> f(5)=1 >> f'(5)=7 >> >> g(3)=4 >> g'(3)=5 >> >> g(5)=3 >> g'(5)=4 >> >> Se h(x)=g(f(x)), quanto vale h'(3)? >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema sobre Derivadas
h'(x) = g'(f(x))*f'(x) ==> h'(3) = g'(f(3))*f'(3) = g'(5)*3 = 4*3 = 12. Imagino que a sua dificuldade esteja em como aplicar a regra da cadeia, que nos livros de cálculo é normalmente enunciada como: dy/dx = dy/du * du/dx (*) sem especificar quem são os argumentos (variáveis independentes) das funções e nem em que pontos as derivadas são calculadas. A fórmula que escrevi acima explicita isso: h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) ==> h'(x) = g'(f(x))*f'(x). Assim, a derivada de h no ponto x = a, é dada por h'(a) = g'(f(a))*f'(a) Na fórmula (*) está implícito (mas deveria ser explicitado pelo autor do livro) que y é uma função (digamos, g) do argumento u, e u, por sua vez, é uma função (digamos, f) do argumento x. Logo, y = g(u) e u = f(x), o que implica que y = g(f(x)). Se queremos calcular dy/dx (a derivada de y em relação a x) no ponto x = a, de fato, queremos a derivada da função composta gof no ponto x = a. Ou seja, dy/dx(x=a) = (gof)'(a) Em (*), dy/du é a derivada de g em relação a u, calculada no ponto u = f(a) ==> dy/du(u=f(a)) = g'(f(a)). E du/dx é a derivada de f em relação a x, calculada no ponto x = a ==> du/dx(x=a) = f'(a). Assim, os livros de cálculo que apresentassem a fórmula (*) deveriam, no mínimo, escrevê-la como: dy/dx(x=a) = dy/du(u=u(a)) * du/dx(x=a) Ou seja, explicitando em que ponto cada derivada é calculada. Espero que isso tenha ajudado. []s, Claudio. On Fri, Aug 30, 2019 at 2:16 PM Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> wrote: > Olá, pessoal! > Boa tarde! > Tudo bem? > Estou confuso com o problema abaixo. > Alguém pode me ajudar? > Reconheço que tenho falhas graves em Cálculo e aproveito para pedir uma > indicação de material para estudar. > Muito obrigado! > > Temos duas funções f e g e sabemos que: > > f(3)=5 > f'(3)=3 > > f(4)=2 > f'(4)= -3 > > f(5)=1 > f'(5)=7 > > g(3)=4 > g'(3)=5 > > g(5)=3 > g'(5)=4 > > Se h(x)=g(f(x)), quanto vale h'(3)? > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema sobre Derivadas
Ola, boa tarde. Isso é uma simples aplicação da regra da cadeia. H'(x) = g'(f (x))*f'(x) H'(3) = g'(f (3))*f'(3) = g (5) * 3 = 9 Em Sex, 30 de ago de 2019 14:16, Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> escreveu: > Olá, pessoal! > Boa tarde! > Tudo bem? > Estou confuso com o problema abaixo. > Alguém pode me ajudar? > Reconheço que tenho falhas graves em Cálculo e aproveito para pedir uma > indicação de material para estudar. > Muito obrigado! > > Temos duas funções f e g e sabemos que: > > f(3)=5 > f'(3)=3 > > f(4)=2 > f'(4)= -3 > > f(5)=1 > f'(5)=7 > > g(3)=4 > g'(3)=5 > > g(5)=3 > g'(5)=4 > > Se h(x)=g(f(x)), quanto vale h'(3)? > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
