RE: [obm-l] Valores de a, b e c
Muito obrigado pelas informações Ralph, vou verificar com cuidado. Mas, era como você desconfiou, eu queria os valores INTEIROS, rsrsrs... vamos aguardar. Abraços Date: Thu, 10 Jan 2013 13:02:01 -0200 Subject: Re: [obm-l] Valores de a, b e c From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br CASO 1: c=0. Neste caso, temos a/b+b/a=1. Entao x=a/b teria que ser positivo Mas x+1/x=2 para todo x real positivo, entao nao ha solucoes no caso 1. CASO 2: c0 A ideia eh notar que a equacao eh homogenea: se (a,b,c) eh solucao, entao (Ka, Kb, Kc) tambem eh (para K0) Entao tomando K=1/c, a gente ve que (x,y,1) tem que ser solucao (onde x=a/c e y=b/c). Melhor ainda, botando tudo em funcao de x e S=x+y, vem: x/(S-x+1) + (S-x)/(x+1) + 1/S = 1 Abrindo tudo, organizando como uma quadratica em x, se eu nao errei contas, fica (3S-1)x^2-(3S^2-S)x+(S^3+1)=0. Mais contas, achei o discriminante como D=-(3S-1)(S+2)(S^2-S+2). Para isto ser positivo, devemos ter (3S-1)(S+2)0, isto eh, -2=S=1/3. Por outro lado, dado S ai, certamente temos solucao: x=((3S^2-S)+-raiz(D))/2(3S-1) Entao voces tem infinitas solucoes da forma a=c[((3S^2-S)+-raiz(D))/2(3S-1)] b=c(S-x) c=c onde S eh um real arbitrario em [-2,1/3] e c eh outro real arbitrario. Abraco, Ralph P.S.: Ou voce queria apenas valores INTEIROS de a, b e c? Ai eh OUTRO problema 2013/1/9 Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com: Buscando uma ajuda no problema a seguir. Se a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) =1, quais os possíveis valores de a, b e c? Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Valores de a, b e c
Estou sem tempo agora, mas acho que jah mostramos que nao ha solucoes positivas. Afinal, se houvesse, seria 0=S=1/3. Mas S=x+y=(a+b)/c, entao teriamos c/(a+b)=3. Como isso tambem valeria para a/(b+c) e b/(a+c), acho que teriamos um absurdo. (Deve ter algum jeito MUUUITO mais rapido de ver isso -- ou entao eu errei algo) Abraco, Ralph 2013/1/12 Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com: Muito obrigado pelas informações Ralph, vou verificar com cuidado. Mas, era como você desconfiou, eu queria os valores INTEIROS, rsrsrs... vamos aguardar. Abraços Date: Thu, 10 Jan 2013 13:02:01 -0200 Subject: Re: [obm-l] Valores de a, b e c From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br CASO 1: c=0. Neste caso, temos a/b+b/a=1. Entao x=a/b teria que ser positivo Mas x+1/x=2 para todo x real positivo, entao nao ha solucoes no caso 1. CASO 2: c0 A ideia eh notar que a equacao eh homogenea: se (a,b,c) eh solucao, entao (Ka, Kb, Kc) tambem eh (para K0) Entao tomando K=1/c, a gente ve que (x,y,1) tem que ser solucao (onde x=a/c e y=b/c). Melhor ainda, botando tudo em funcao de x e S=x+y, vem: x/(S-x+1) + (S-x)/(x+1) + 1/S = 1 Abrindo tudo, organizando como uma quadratica em x, se eu nao errei contas, fica (3S-1)x^2-(3S^2-S)x+(S^3+1)=0. Mais contas, achei o discriminante como D=-(3S-1)(S+2)(S^2-S+2). Para isto ser positivo, devemos ter (3S-1)(S+2)0, isto eh, -2=S=1/3. Por outro lado, dado S ai, certamente temos solucao: x=((3S^2-S)+-raiz(D))/2(3S-1) Entao voces tem infinitas solucoes da forma a=c[((3S^2-S)+-raiz(D))/2(3S-1)] b=c(S-x) c=c onde S eh um real arbitrario em [-2,1/3] e c eh outro real arbitrario. Abraco, Ralph P.S.: Ou voce queria apenas valores INTEIROS de a, b e c? Ai eh OUTRO problema 2013/1/9 Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com: Buscando uma ajuda no problema a seguir. Se a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) =1, quais os possíveis valores de a, b e c? Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Valores de a, b e c
CASO 1: c=0. Neste caso, temos a/b+b/a=1. Entao x=a/b teria que ser positivo Mas x+1/x=2 para todo x real positivo, entao nao ha solucoes no caso 1. CASO 2: c0 A ideia eh notar que a equacao eh homogenea: se (a,b,c) eh solucao, entao (Ka, Kb, Kc) tambem eh (para K0) Entao tomando K=1/c, a gente ve que (x,y,1) tem que ser solucao (onde x=a/c e y=b/c). Melhor ainda, botando tudo em funcao de x e S=x+y, vem: x/(S-x+1) + (S-x)/(x+1) + 1/S = 1 Abrindo tudo, organizando como uma quadratica em x, se eu nao errei contas, fica (3S-1)x^2-(3S^2-S)x+(S^3+1)=0. Mais contas, achei o discriminante como D=-(3S-1)(S+2)(S^2-S+2). Para isto ser positivo, devemos ter (3S-1)(S+2)0, isto eh, -2=S=1/3. Por outro lado, dado S ai, certamente temos solucao: x=((3S^2-S)+-raiz(D))/2(3S-1) Entao voces tem infinitas solucoes da forma a=c[((3S^2-S)+-raiz(D))/2(3S-1)] b=c(S-x) c=c onde S eh um real arbitrario em [-2,1/3] e c eh outro real arbitrario. Abraco, Ralph P.S.: Ou voce queria apenas valores INTEIROS de a, b e c? Ai eh OUTRO problema 2013/1/9 Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com: Buscando uma ajuda no problema a seguir. Se a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) =1, quais os possíveis valores de a, b e c? Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
