I put the best translation I can produce (and add my comments in
parenthesis).
Markus,
If one wants to apply what we have just said to the case when
(where) there is a number n of Candidates, one can follow the
following rules:
1.� all possible personal advice (opinion), and not implying any
contradiction, reduce to indicate a merit order (ranking) that
one judges taking place between the Candidates. For example, the 6
personal advices above reduce to the 6 combinations (1) A, B, C;
(2) A, C, B; (4) C, A, B; (5) B, A, C; (7) B, C, A; (8) C, B, A, that we
mark here using the same numbers that the corresponding personal advices
(see page 120), and indicating the different order in which A, B, C can be
arranged (ranked). Thus, for n Candidates, one will have n*(n-1)*...*2
possible personal advices;
2.� Each Voter having given its advice, by indicating the order of value
(ranking) of the Candidates, if one compares them two by two, one
will have for each advice n*(n-1)/2 propositions to consider separately. (At
this point we can see that Condorcet supposes that every voter produces a
full ranking so the margin, relative margin or winning-votes debate is not
a problem, at least in this text...) Taking the number of times each
proposition
is contained within the advice of one of the q Voters, one will have the
number of
votes (voices) that adopt each proposition.
3.� one will form an advice from the n*(n-1)/2 propositions that regroup
the more votes. If this advice is among the n*(n-1)*...*2 possible advices,
one will consider as elected the Subject (Person)
to who this advice gives the preference. If this advice is among the
2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 impossible advices, then one will successively
put aside from this impossible advice the propositions that have a lesser
plurality,
and one will adopt the resulting advice obtained from the kept propositions.
(We can summarize Condorcet's words by: keep removing the lesser plurality
proposition until you get a feasible advice. The problem is that if you
follow this
procedure you can obtain a different result than the one predicted. From
Condorcet's definition an impossible advice contains at least one cycle and
thus the graph of propositions does not contain an elementary path
summarizing
the resulting order. It is possible following his instructions to obtain a
resulting
elementary path. But the garanteed result is a set of disconnected
elementary
subnetworks, some containing only one node, the set covering all nodes.
Typically you could get several disconnected subgraphs containing cycles
that
will end up each as one elementary subnetwork or you can get one subgraph
containing a cycle that ends up as several elementary subnetworks because
some equal weight pairwise victories are removed at the same time, or some
combinations of both. I think it covers all cases, you are welcome to
confirm
and to give a proof...)
4.� To be continued...
Markus Schulze a �crit :
> Dear Stephane,
>
> in so far as you are the unique French speaking person in
> this mailing list, I would like to ask you how you interpret
> Condorcet's proposal for more than 3 candidates. Condorcet
> wrote ("Essai sur l'application de l'analyse a la probabilit�
> des d�cisions rendues � la pluralit� des voix," Imprimerie
> Royale, Paris, pp. 125-128, 1785):
>
> Si on veut appliquer ce que nous venons de dire au cas
> o� il y a un nombre n de Candidats, on pourra suivre les
> r�gles suivantes: 1.� tous les avis possibles, & qui
> n'impliquent pas contradiction, se r�duisent � indiquer
> l'ordre de m�rite que l'on juge avoir lieu entre les
> Candidats. Par exemple, les six avis ci-dessus se
> r�duisent aux six combinaisons (1) A, B, C; (2) A, C, B;
> (4) C, A, B; (5) B, A, C; (7) B, C, A; (8) C, B, A, que
> nous marquons ici des m�mes num�ros que les avis qui y
> r�pondent (voyez page 120), & qui indiquent les diff�rens
> ordres, suivant lesquels A, B, C peuvent �tres rang�s.
> Donc pour n Candidats, on aura n*(n-1)*...*2 avis possibles;
> 2.� Chaque Votant ayant donn� ainsi son avis, en indiquant
> l'ordre de valeur des Candidats, si on les compare deux �
> deux, on aura dans chaque avis n*(n-1)/2 propositions �
> consid�rer s�par�ment. Prenant le nombre de chaque fois
> que chacune est comprise dans l'avis d'un des q Votans,
> on aura le nombre de voix qui adoptent chaque proposition;
> 3.� on formera un avis des n*(n-1)/2 propositions qui
> r�unissent le plus de voix. Si cet avis est du nombre
> des n*(n-1)*...*2 avis possibles, on regardera comme �lu
> le Sujet � qui cet avis accorde la pr�f�rence. Si cet
> avis est du nombre de 2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 avis
> impossibles, alors on �cartera de cet avis impossible
> successivement les propositions qui ont une moindre
> pluralit�, & l'on adoptera l'avis r�sultant de celles
> qui restent; 4.� dans le cas o� l'on ne sera pas oblig�
> d'�lire, & o� l'on pourra diff�rer, on examinera la
> probabilit� des avis r�unis qui donnent la pr�f�rence
> � A, � B, � C, &c. & on n'admettra l'�lection que
> lorsqu'il r�sulte en faveur d'un des Candidats une
> probabilit� plus grande que 1/2; ce qui ne peut avoir
> lieu dans le cas o� le r�sultat des voix conduit � un
> des 2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 avis absurdes, & n'a
> lieu dans le cas des n*(n-1)*...*2 autres avis, que
> lorsque chacune des n-1 propositions A > B, A > C, &c.
> qui forment essentiellement l'avis en faveur de A, par
> exemple, sont celles qui r�unissent le plus de voix;
> il y a cependant une tr�s-grande diff�rence entre ce
> cas & celui d'un avis impossible. Dans ce dernier cas,
> on est oblig� d'admettre une proposition qui a r�ellement
> la pluralit� contr'elle, ce qui n'a pas lieu ici: ainsi
> lorsqu'il y a des inconv�niens � diff�rer l'�lection, on
> peut admettre l'avis possible, pris comme nous l'avons
> expos� ci-dessus; au lieu qu'il faut une v�ritable
> n�cessit� d'�lire pour adopter l'avis lorsque les
> propositions qui le forment impliquent contradiction;
> 5.� on ne peut choisir une m�thode plus simple.
> Supposons en effet pour trois Candidats, qu'on se borne
> � demander si A > B, si A > C, & qu'il en r�sulte une
> votation positive en faveur des deux �nonc�s, on aura
> � la v�rit� une d�cision conforme � celle que nous
> avons montr� ci-dessus qu'il falloit choisir, pages
> 123 & suiv. Si on a une votation positive pour la
> premi�re proposition, n�gative pour la seconde, alors
> on ne sera pas en droit d'en conclure en faveur de C,
> comme ces deux propositions paroissent l'indiquer,
> puisque nous avons vu que, dans le m�me cas, la
> d�cision peut �tre en faveur de A, si on d�cide que
> B > C, & que des trois propositions A < C soit la
> moins probable; en faveur de B, si de trois propositions
> A > B est la moins probable; en faveur de C, si des
> trois propositions B > C est la moins probable, ou dans
> le cas de la votations en faveur de C > B, cas qui est
> compris dans celui o� B > C est suppos�e la moins
> probable des trois propositions. De plus, il est
> �vident qu'en admettant cette m�thode, on auroit des
> r�sultats diff�rens, suivant qu'on commenceroit �
> d�lib�rer sur la suite des propositions A > B, A > C
> ... ou B > A, B > C, ou C > A, C > B; 6.� il est
> n�cessaire de conno�tre le nombre des Candidats, &
> toute �lection exige n�cessairement que par une
> premi�re votation on ait d�cid� sur la capacit� des
> Candidats, dans le cas o� l'avis seroit adopt�, m�me
> s'il n'�toit pas form� des n-1 propositions qui ont
> la pluralit�; 7.� si le nombre des Votans est tr�s-grand,
> & la probabilit� de l'avis de chacun tr�s-peu au-dessus
> de 1/2, il devient tr�s-difficile, � proportion que le
> nombre des Candidats est plus grand, d'obtenir une
> d�cision qui ait un degr� de probabilit� au-dessus de
> 1/2. Ainsi on ne doit confier � une grande assembl�e
> le choix qu'entre des Candidats qui ont �t� d'ailleurs
> jug�s tr�s-capables, avec une probabilit� tr�s-grande,
> ou bien le droit de pr�senter � une assembl�e moins
> nombreuse & plus �clair�e un certain nombre de
> Candidats. En g�n�ral toute �lection faite par un
> grand nombre d'hommes, conduit � une tr�s-petite
> probabilit� que l'on a choisi le meilleur.
>
> Markus Schulze
>
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