Dear Stephane,
in so far as you are the unique French speaking person in
this mailing list, I would like to ask you how you interpret
Condorcet's proposal for more than 3 candidates. Condorcet
wrote ("Essai sur l'application de l'analyse a la probabilit�
des d�cisions rendues � la pluralit� des voix," Imprimerie
Royale, Paris, pp. 125-128, 1785):
Si on veut appliquer ce que nous venons de dire au cas
o� il y a un nombre n de Candidats, on pourra suivre les
r�gles suivantes: 1.� tous les avis possibles, & qui
n'impliquent pas contradiction, se r�duisent � indiquer
l'ordre de m�rite que l'on juge avoir lieu entre les
Candidats. Par exemple, les six avis ci-dessus se
r�duisent aux six combinaisons (1) A, B, C; (2) A, C, B;
(4) C, A, B; (5) B, A, C; (7) B, C, A; (8) C, B, A, que
nous marquons ici des m�mes num�ros que les avis qui y
r�pondent (voyez page 120), & qui indiquent les diff�rens
ordres, suivant lesquels A, B, C peuvent �tres rang�s.
Donc pour n Candidats, on aura n*(n-1)*...*2 avis possibles;
2.� Chaque Votant ayant donn� ainsi son avis, en indiquant
l'ordre de valeur des Candidats, si on les compare deux �
deux, on aura dans chaque avis n*(n-1)/2 propositions �
consid�rer s�par�ment. Prenant le nombre de chaque fois
que chacune est comprise dans l'avis d'un des q Votans,
on aura le nombre de voix qui adoptent chaque proposition;
3.� on formera un avis des n*(n-1)/2 propositions qui
r�unissent le plus de voix. Si cet avis est du nombre
des n*(n-1)*...*2 avis possibles, on regardera comme �lu
le Sujet � qui cet avis accorde la pr�f�rence. Si cet
avis est du nombre de 2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 avis
impossibles, alors on �cartera de cet avis impossible
successivement les propositions qui ont une moindre
pluralit�, & l'on adoptera l'avis r�sultant de celles
qui restent; 4.� dans le cas o� l'on ne sera pas oblig�
d'�lire, & o� l'on pourra diff�rer, on examinera la
probabilit� des avis r�unis qui donnent la pr�f�rence
� A, � B, � C, &c. & on n'admettra l'�lection que
lorsqu'il r�sulte en faveur d'un des Candidats une
probabilit� plus grande que 1/2; ce qui ne peut avoir
lieu dans le cas o� le r�sultat des voix conduit � un
des 2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 avis absurdes, & n'a
lieu dans le cas des n*(n-1)*...*2 autres avis, que
lorsque chacune des n-1 propositions A > B, A > C, &c.
qui forment essentiellement l'avis en faveur de A, par
exemple, sont celles qui r�unissent le plus de voix;
il y a cependant une tr�s-grande diff�rence entre ce
cas & celui d'un avis impossible. Dans ce dernier cas,
on est oblig� d'admettre une proposition qui a r�ellement
la pluralit� contr'elle, ce qui n'a pas lieu ici: ainsi
lorsqu'il y a des inconv�niens � diff�rer l'�lection, on
peut admettre l'avis possible, pris comme nous l'avons
expos� ci-dessus; au lieu qu'il faut une v�ritable
n�cessit� d'�lire pour adopter l'avis lorsque les
propositions qui le forment impliquent contradiction;
5.� on ne peut choisir une m�thode plus simple.
Supposons en effet pour trois Candidats, qu'on se borne
� demander si A > B, si A > C, & qu'il en r�sulte une
votation positive en faveur des deux �nonc�s, on aura
� la v�rit� une d�cision conforme � celle que nous
avons montr� ci-dessus qu'il falloit choisir, pages
123 & suiv. Si on a une votation positive pour la
premi�re proposition, n�gative pour la seconde, alors
on ne sera pas en droit d'en conclure en faveur de C,
comme ces deux propositions paroissent l'indiquer,
puisque nous avons vu que, dans le m�me cas, la
d�cision peut �tre en faveur de A, si on d�cide que
B > C, & que des trois propositions A < C soit la
moins probable; en faveur de B, si de trois propositions
A > B est la moins probable; en faveur de C, si des
trois propositions B > C est la moins probable, ou dans
le cas de la votations en faveur de C > B, cas qui est
compris dans celui o� B > C est suppos�e la moins
probable des trois propositions. De plus, il est
�vident qu'en admettant cette m�thode, on auroit des
r�sultats diff�rens, suivant qu'on commenceroit �
d�lib�rer sur la suite des propositions A > B, A > C
... ou B > A, B > C, ou C > A, C > B; 6.� il est
n�cessaire de conno�tre le nombre des Candidats, &
toute �lection exige n�cessairement que par une
premi�re votation on ait d�cid� sur la capacit� des
Candidats, dans le cas o� l'avis seroit adopt�, m�me
s'il n'�toit pas form� des n-1 propositions qui ont
la pluralit�; 7.� si le nombre des Votans est tr�s-grand,
& la probabilit� de l'avis de chacun tr�s-peu au-dessus
de 1/2, il devient tr�s-difficile, � proportion que le
nombre des Candidats est plus grand, d'obtenir une
d�cision qui ait un degr� de probabilit� au-dessus de
1/2. Ainsi on ne doit confier � une grande assembl�e
le choix qu'entre des Candidats qui ont �t� d'ailleurs
jug�s tr�s-capables, avec une probabilit� tr�s-grande,
ou bien le droit de pr�senter � une assembl�e moins
nombreuse & plus �clair�e un certain nombre de
Candidats. En g�n�ral toute �lection faite par un
grand nombre d'hommes, conduit � une tr�s-petite
probabilit� que l'on a choisi le meilleur.
Markus Schulze
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