the more votes. If this advice is among the n*(n-1)*...*2 possible advices,
one will consider as elected the Subject (Person)
to who this advice gives the preference. If this advice is among the
2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 impossible advices, then one will successively
put aside from this impossible advice the propositions that have a lesser
plurality, and one will adopt the resulting advice obtained from the kept propositions.
4.° In the case when (where) one will not have to elect,
and when one could defer (the election), one will examine
the probability of regrouped advices that give the preference
to A, to B, to C, et al. (and company) and one
will admit the election only
when it results in favor of one of the Candidates with
a
probability greater than 1/2;
this cannot take place in the case when the result of
votes (voices) leads to one
of the 2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 impossible (absurd)
advices,
and takes place in the case of the n*(n-1)*...*2 other
advices,
when each of the n-1 propositions A > B, A > C, et
al.
that form essentially the advice in favor of A, for example,
are those that regroup the most votes;
there is however a great difference between this
case and the case of an impossible advice. In the last
case,
one has to admit a proposition that has really
plurality against it, something that does not take place
here: thus
when there is some inconvenients to defer the election,
one
can admit the possible advice, produced (taken) as we
did
expose it above (3.° );
but it has to be a real necessity to elect for adopting
the advice when the
propositions that form it imply a contradiction;
(In summary: defer the election if you obtain an impossible advice.
Use
method 3.° only if you really need a result.)
5.° one cannot chose a simpler method.
Let us suppose in fact for three Candidates, that one
limits itself
to ask if A > B, if A > C, and that it results in
a positive
votation in favor of both propositions (terms), one will
have
in reality a decision identical to the decision we have
shown above
having to make (chose), pages 123 and next. If one has
a positive votation
for the first proposition, negative for the second, then
one will not be right to conclude in favor of C,
as these two propositions seem to indicate,
because we have seen that, in the same case, the
decision can be in favor of A, if one decides that
B > C, and that among (from) the three propositions A
< C were the
least probable; in favor of B, if among the three propositions
A > B were the least probable; in favor of C, if among
the three
propositions B > C were the least probable, or in the
case of the votation in favor of C > B, case that is
covered in the case when B > C is supposed the least
probable of the three propositions. In addition, it is
obvious
that admiting this method, one would have different
results, depending on the order in which one would begin
to deliberate over the sequence of propositions A > B,
A > C
... or B > A, B > C, or C > A, C > B;
6.° it is necessary to know the number of Candidates, and
every election demands necessarily that by a
first votation one has decided about the ability (capability)
of
the Candidates, in case the advice would be adopted, even
if it were not formed with the n-1 propositions that have
plurality;
(I suppose it was to get rid of women and other candidates...)
7.° if the number of voters is very big,
and the probability of the advice of each very low above
1/2, it becomes very hard, in proportion that the
number of Candidates gets larger, to obtain a
decision that has a degree of probability above
1/2. Thus one shall entrust a large audience (assembly)
with
the choice between Candidates that have already
been judged very able, with a very high probability,
or (one should keep) the right to present to a smaller
audience
and more enlightened some Candidates. In general every
election
held (made) by a big number of men, leads to a very small
probability that one has chosen the best.
(Personally, I think Condorcet was and still is wrong about that last
point.
Suppose we have an electorate that can identify the "good" candidate
out of two
with a .58 probability. This shows the probability of getting the right
person
elected if we allow only one person to vote. Now let us use 3 of these
persons to
vote among a huge pool so the probability is fixed. The probability
of getting the
"good" candidate is (.58)^3 + 3x(.58)^2(.42) = .195112 + 3x .141288
= .618976
Any comment ? )
Steph
Markus Schulze a écrit :
Dear Stephane,in so far as you are the unique French speaking person in
this mailing list, I would like to ask you how you interpret
Condorcet's proposal for more than 3 candidates. Condorcet
wrote ("Essai sur l'application de l'analyse a la probabilité
des décisions rendues à la pluralité des voix," Imprimerie
Royale, Paris, pp. 125-128, 1785):Si on veut appliquer ce que nous venons de dire au cas
où il y a un nombre n de Candidats, on pourra suivre les
règles suivantes: 1.° tous les avis possibles, & qui
n'impliquent pas contradiction, se réduisent à indiquer
l'ordre de mérite que l'on juge avoir lieu entre les
Candidats. Par exemple, les six avis ci-dessus se
réduisent aux six combinaisons (1) A, B, C; (2) A, C, B;
(4) C, A, B; (5) B, A, C; (7) B, C, A; (8) C, B, A, que
nous marquons ici des mêmes numéros que les avis qui y
répondent (voyez page 120), & qui indiquent les différens
ordres, suivant lesquels A, B, C peuvent êtres rangés.
Donc pour n Candidats, on aura n*(n-1)*...*2 avis possibles;
2.° Chaque Votant ayant donné ainsi son avis, en indiquant
l'ordre de valeur des Candidats, si on les compare deux à
deux, on aura dans chaque avis n*(n-1)/2 propositions à
considérer séparément. Prenant le nombre de chaque fois
que chacune est comprise dans l'avis d'un des q Votans,
on aura le nombre de voix qui adoptent chaque proposition;
3.° on formera un avis des n*(n-1)/2 propositions qui
réunissent le plus de voix. Si cet avis est du nombre
des n*(n-1)*...*2 avis possibles, on regardera comme élu
le Sujet à qui cet avis accorde la préférence. Si cet
avis est du nombre de 2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 avis
impossibles, alors on écartera de cet avis impossible
successivement les propositions qui ont une moindre
pluralité, & l'on adoptera l'avis résultant de celles
qui restent; 4.° dans le cas où l'on ne sera pas obligé
d'élire, & où l'on pourra différer, on examinera la
probabilité des avis réunis qui donnent la préférence
à A, à B, à C, &c. & on n'admettra l'élection que
lorsqu'il résulte en faveur d'un des Candidats une
probabilité plus grande que 1/2; ce qui ne peut avoir
lieu dans le cas où le résultat des voix conduit à un
des 2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 avis absurdes, & n'a
lieu dans le cas des n*(n-1)*...*2 autres avis, que
lorsque chacune des n-1 propositions A > B, A > C, &c.
qui forment essentiellement l'avis en faveur de A, par
exemple, sont celles qui réunissent le plus de voix;
il y a cependant une très-grande différence entre ce
cas & celui d'un avis impossible. Dans ce dernier cas,
on est obligé d'admettre une proposition qui a réellement
la pluralité contr'elle, ce qui n'a pas lieu ici: ainsi
lorsqu'il y a des inconvéniens à différer l'élection, on
peut admettre l'avis possible, pris comme nous l'avons
exposé ci-dessus; au lieu qu'il faut une véritable
nécessité d'élire pour adopter l'avis lorsque les
propositions qui le forment impliquent contradiction;
5.° on ne peut choisir une méthode plus simple.
Supposons en effet pour trois Candidats, qu'on se borne
à demander si A > B, si A > C, & qu'il en résulte une
votation positive en faveur des deux énoncés, on aura
à la vérité une décision conforme à celle que nous
avons montré ci-dessus qu'il falloit choisir, pages
123 & suiv. Si on a une votation positive pour la
première proposition, négative pour la seconde, alors
on ne sera pas en droit d'en conclure en faveur de C,
comme ces deux propositions paroissent l'indiquer,
puisque nous avons vu que, dans le même cas, la
décision peut être en faveur de A, si on décide que
B > C, & que des trois propositions A < C soit la
moins probable; en faveur de B, si de trois propositions
A > B est la moins probable; en faveur de C, si des
trois propositions B > C est la moins probable, ou dans
le cas de la votations en faveur de C > B, cas qui est
compris dans celui où B > C est supposée la moins
probable des trois propositions. De plus, il est
évident qu'en admettant cette méthode, on auroit des
résultats différens, suivant qu'on commenceroit à
délibérer sur la suite des propositions A > B, A > C
... ou B > A, B > C, ou C > A, C > B; 6.° il est
nécessaire de connoître le nombre des Candidats, &
toute élection exige nécessairement que par une
première votation on ait décidé sur la capacité des
Candidats, dans le cas où l'avis seroit adopté, même
s'il n'étoit pas formé des n-1 propositions qui ont
la pluralité; 7.° si le nombre des Votans est très-grand,
& la probabilité de l'avis de chacun très-peu au-dessus
de 1/2, il devient très-difficile, à proportion que le
nombre des Candidats est plus grand, d'obtenir une
décision qui ait un degré de probabilité au-dessus de
1/2. Ainsi on ne doit confier à une grande assemblée
le choix qu'entre des Candidats qui ont été d'ailleurs
jugés très-capables, avec une probabilité très-grande,
ou bien le droit de présenter à une assemblée moins
nombreuse & plus éclairée un certain nombre de
Candidats. En général toute élection faite par un
grand nombre d'hommes, conduit à une très-petite
probabilité que l'on a choisi le meilleur.Markus Schulze
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