Delta impulz
- lastnosti
* integral(-inf,inf)[delta(t)dt] = 1
* lim(t->0)[delta(t)] = inf // v točki 0 gre proti neskon� �nosti
* delta(-t) = delta(t) // je soda
* delta(t) = 0, kjer je t != 0 // povsod drugod je 0
- vzorčevalna & izsejalna l.
* vzorčevalna: x(t)*delta(t-t0) = x(t0)*delta(t-t0)
* izsejalna: integral(t1,t2)[f(t)delta(t-t0)dt] = f(t0), če
je t1<t0<t2, sicer 0
- zakaj tudi enotin impulz
* ker ima integral ploščino 1
* ker ko pošljemo delta impulz v LTI sistem (LČNS), dobimo
= ven h(t) tega sistema
Inžinirske delta funkcije
* pravokotnik širine epsilon in višine 1/epsilon
* trikotnik širine 2*epsilon in višine 1/epsilon
* hribčki - epsilon*[1/(Pi*t) * sin(Pi*t/epsilon)]^2
Ortogonalnost:
- uporaba
* glupo vprašanje
* ker je z njimi lažje računati?
* ortogonalizacija signalov (signal predstavimo kot vektor v ortog.
koord sistemu)?
- lastnosti
* Fi in Fk sta ortogonalna na [a,b] <=>
integral(a,b)[Fi(t)*Fk(t)*dt] = Ek, ko je i=k in 0 sicer
- primer
* Walshove funkcije... neke stopnice.
Vrste signalov:
- nastej
* deterministični/nedeterministični
* zvezni/diskretni
* periodični/aperiodični (če je
deterministični)<= br>
* energijski/močnostni
- s cim predstavimo signale
* čudno vprašanje... predstavimo jih s funkcijo časa,
= ali pa v primeru nedeterminističnih kot neko
statistično spremenljivko?<= /li>
- močnostni in energijski signali
* energijski je, ko je integral(-inf,inf)[|f(t)|dt] < inf
* močnostni je, ko lahko izrazimo energijo na neko periodo
Fi funkcija (krog pa črta čez če kdo ne ve) :
- s čim jo izračunamo (Hammilton, Laplace, Taylorjeva vrsta)
- formule od prvega prašanja
* Hamilton:
* det(A - lanbda*I) = 0 = karakteristični polinom p(lambda )
* p(lambda) napišemo kot p(A) = ui*A^i // ui so koeficienti pri
potencah
* Fi(t) = e^At = sum(ui*A^i)
Laplace:
* Fi(t) = L^-1{s*I - A]^-1} .. tole je inverzni laplace inverzne
matrike s*I - A, torej matrike z "s" po diagonali, kateri
odštejemo matriko A
* inverzna transformacija za vsak element matrike
Taylor:
* Fi(t) = e^At = I + At + ....+ (A^n*t^n)/n!
- kako nastopa v LTI
* glupo vprašanje
* v LTI je edina zveza s tem to, da matrika A ni odvisna od
časa= .. sem pa našel par formul v temu kontekstu:
* h(t) = c'Fi(t)b
* y(t) = c'Fi(t)v0
* c,b,v0 so pa vektorji, ki so podani pri matričnem zapisu..
Linearne dif. Enačbe
* Sistem lahko izrazimo tudi z DE
* 1. kanonična oblika (glej formule..)
* 2. kanonična oblika (glej formule..)
* rešimo jih lahko z F ali L transformacijami
Krmilni sistemi
* glej kontrola sistemov... IMO..
Teorem vzorčenja
* Frekvenca vzorčenja mora biti vsaj 2x večja od
maksimalne frekvence v signalu, če želimo signal na
koncu kanala rekonstru= irati brez izgub. (ws > 2wb)
Laplace
* se uporablja, ker F{} za nekatere funkcije ne obstaja
* poznamo bilateralen in unilat.
* namesto na realno os (omega) sedaj transformiramo na celotno
kompleksno ravnino (s = sigma + i*omega)
* formule....
* lastnosti?
Linearni sistemi
* so takrat, ko velja superpozicija: x1->y1, x2->y2 => ax1 + bx2
-> ay1 + by2
Stabilnost:
- v "s" obmocju
* poli prenosne funkcije morajo biti vsi na levi strani kompleksne
ravnine
* če so poli 1. stopnje in so na imaginarni osi, je sistem
delno stabilen (stabilen je le, če ga vzbujamo z njegovo
lastno frekvenco) * sicer nestabilen
- v "t" obmocju
* omejeni vzroki povzročijo omejene posledice
* nekaj v stilu |x(t)| < A => |y(t)| < B
LTI:
- def. stanja sistema
* glupo vprašanje
* v'(t) = Av(t) + Bx(t); y(t) = Cv(t) + Dx(t); v0
* pri LTI so A,B,C, D, v0 vsi neodvisni od t
- lastnosti
* linearen (glej Linearni sistemi)
* časovno neodvisen: x(t) -> y(t): x(t+t0) = x(t) => y (t+t0) = y(t)
? (enačba nekaj takega)
* lahko je kavzalen, če ni odvisen od t < 0
- stabilnost
* če je integral(-inf,inf)[|h(t)|dt] < inf
Implementacija Konvolucije
* da ni slučajno "interpretacija konvolucije"... gre pa se za
ti= sto risanje grafov, ko eno funkcijo fiksiraš, drugo pa
zrcališ prek= o y in kotališ iz desne proti levi
Izrek o končni vrednosti
* lim(s->0)[sX(s)] = lim(t->inf)[x(t)]
Izrek o začetni vrednosti
* lim(s->inf)[X(s)] = x(0+)
Gibsonov teorem
* prej "Gibsonov fenomen".
* gre pa se za 9% prenihaj, ki se pojavi, če hočemo z F
vrs= to aproksimirati sgn(t), zaradi česar je F vrsta precej
slaba aproksimacija takšnih funkcij
Modulacija/ demodulacija
* Modulacija :y(t) = x(t)m(t) .. signal x(t) moduliramo
(zmnož= imo) z m(t) (ponavadi coswt). Računamo pa dalje
potem tako:
* Y(w) = 1/2Pi(X(w)*M(w)) (zvezdica je tukaj konvolucija)
* Y(w) = 1/2[X(w-w0) + X(w+w0)] (m(t) smo vzeli cosw0t)
Demodulacija je pa ponavadi inverz tega
Kontrola sistemov
* spreminjanje vhodnega signala, da dobimo ven to kar hočemo
* odprtozančni: regulacija je odvisna le od vhodnega signala
* za preproste sisteme
zaprtozančni: regulacija je odvisna od vhodnega in izhodnega
signala
* potrebujemo senzorje
* prilagodljivi
* lahko so nestabilni
To je to.. upam da ni kakih dezinformacij notri. Pa srečno jutri.
Lp, Tadej
