Petrúcio:
Um erro está no uso da palavra PRÓXIMO.
A prova de Euclides, ou melhor, o algoritmo que ela
inclui, não gera o PRÓXIMO número primo:
Concordo com você. Mas note que eu não disse que a prova de Euclides
gera o próximo primo, mas apenas um primo maior que o número n de que
partimos. O próximo primo maior que um número n será, "na pior das
hipóteses" (foi assim que escrevi) o número p, ou seja, o menor fator
primo do sucessor da multiplicação de todos os números primos menores do
que n. Assim, qualquer algoritmo para obter o "próximo" número primo
pára e retorna um número primo que é menor ou igual a p!
João Marcos:
> Bom, você não mostrou como "construir" este próximo primo!
>
Achei que não fosse necessário, pois me parece trivial (em geral é aí
que mora o perigo :) ). Mas já que você quer a "construção", então vá
lá. Vou propor um algoritmo bem estúpido, já que a eficiência é
irrelevante neste caso. Acho que você concorda comigo que a verificação
de se um dado número n é primo ou não é construtiva/computável. O
algoritmo, então, é:
FOR i=n+1 TO p
DO
IF Primo(i) THEN Write(i); SKIP;
END
Note que não há o menor risco deste algoritmo não terminar pois o loop é
limitado por p. Note também que não há o menor risco deste algoritmo não
retornar um número primo, pois p, obtido do "algoritmo/prova de
Euclides" é primo! Portanto, considero este algoritmo uma boa
"construção" do próximo primo.
João Marcos:
> [...] Se alguém me mostrar, porém, que estratégias
> de demonstração mais poderosas do que aquelas de que disponho no
> momento me permitirão "saber" a resposta para este problema,
> provavelmente me esforçarei por entendê-las e aprendê-las, ao invés de
> criticá-las a priori por não pertencerem ao meu estoque de presunções
> sobre o que é "admissível em matemática" ou não...
>
Aí é que está o X da questão. Eu conheço estas "estratégias de
demonstração mais poderosas". Mas não gosto delas, porque são baseadas
em crenças que não compartilho sobre o estatuto ontológico das entidades
matemáticas. Aliás, o modo de conhecer da matemática é a priori, afinal
de contas é justamente por isso que mesmo com um CAMINHÃO de razões a
posteriori para confiarmos na conjectura de Goldbach, continuamos com
uma ponta de desconfiança sobre ela.
Mas a questão que me parece mais interessante sobre este debate a
respeito do intuicionismo é a seguinte: que diferença, nas aplicações da
matemática (e da lógica), os teoremas (argumentos válidos) clássicos mas
não intuicionistas podem fazer? Eu desconfio que nas aplicações da
matemática eles não fazem nenhuma diferença. Já nas aplicações da lógica
a domínios não matemáticos, desconfio que estas diferenças tendem a ser
embaraçosas para os clássicos. Mas confesso que para falar com
propriedade sobre isso ainda preciso comer muito feijão (maga e leite
também!) :)
Saudações,
Daniel
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