Caro Samuel, caros todos
Bacana o que você está pretendendo fazer. Se posso dar palpite, creio
que seria bom tirar da cuca das pessoas duas coisas que são ditas por
aí (veja a barbaridade que o Stephen Hawking diz sobre os teoremas de
Gödel em http://www.damtp.cam.ac.uk/strings02/dirac/hawking/ )----para
quem está com preguiça, eu reproduzo uma frase: "This is very
reminiscent of Goedel's theorem.This says that any finite system of
axyoms, is not sufficient to prove every result in mathematics.": 1)
os teoremas se aplicam para *certas* teorias formuladas *de certa
maneira*, e não em geral; isso pode parecer óbvio para quem já estudou
alguma coisa a respeito, mas não é sabido em geral; 2) quanto ao
segundo teorema, de fato Gödel provou que *certa* sentença que
estabelece que AP é consistente não é provável em AP, mas há *outras*
sentenças que dizem a mesma coisa que são prováveis em AP. Pode ver
Mostowski 1966 (Thirty Years of Foundational Studies). Diria ainda que
3) falamos *nos* teoremas de Gödel como significando seus teoremas de
incompletude; mas na verdade deveríamos qualificar, pois ele tem
vários outros, como é bem sabido.
Quando tiver alguma coisas pronta, manda para vermos e divulgarmos.
Abraços gerais,
Décio
Ah, turma, está saindo um livro com coisas brasileiras em
http://www.springer.com/philosophy/epistemology+and+philosophy+of+science/book/978-90-481-9421-6
________________________________
Decio Krause
Departamento de Filosofia
Universidade Federal de Santa Catarina
88040-990 Florianópolis, SC -- Brasil
[email protected]
www.cfh.ufsc.br/~dkrause
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Doctor Bell say we’re connected,
He called me on the phone,
But if we’re really together baby,
How can I feel so all alone?
(Bell's Theorem Blues)
Em 30/07/2010, às 19:31, [email protected] escreveu:
Olá colegas,
Estou preparando uma apresentacao (que se propoe básica) sobre alguns
aspectos de inconsistência e independência em matemática, e, como
alguém da Teoria dos Conjuntos, sou muito mais "usuário" do que
"estudioso" dos Teoremas de Incompletude.
Entao "topei" com algo que nao deve (mesmo !) entrar na apresentacao,
mas que me despertou curiosidade.
No verbete sobre Gödel da Stanford Encyclopedia, é citado que ele,
numa resenha (1934) de um artigo de Skolem (sobre ultraprodutos),
teria observado que a existência de modelos nao-standard de PA
seguiria do Teorema da Incompletude. Algumas pessoas até estranham que
ele nao teria citado o "caminho mais fácil", que seria o Teorema da
Compacidade...
Nao achei essa resenha. Mas achei em alguns textos este argumento (no
que segue, G é a - ou, talvez melhor, uma - sentenca de Godel, sendo
assim equivalente à sua nao-demonstrabilidade):
**************************************************************************
"Suponha PA consistente. Entao, pelo Primeiro Teorema de Incompletude,
PA nao prova a sentenca de Godel G.
Segue que PA + ~G é consistente, logo, pelo Teorema da Completude para
teorias de primeira ordem, tem modelo.
Nesse modelo vale ~G. Entao esse modelo difere do modelo standard, no
qual a sentenca de Godel G é verdadeira".
**************************************************************************
Apresento algumas questoes, nao sei se elas sao "bobagem" ou nao...
1) Alguém sabe se este é o argumento de Gödel na tal resenha, ou se
ele usou esse argumento depois ?
2) Usualmente se diz que "G é verdadeira e nao pode ser demonstrada".
Bem, G é (facilmente) equivalente à consistência de PA (o que
inclusive já prova o Segundo Teorema de Incompletude).
Muitas vezes se diz que "G é verdadeira no modelo standard" (isso
aparece inclusive no argumento que eu destaquei acima). Essa
afirmacao é
intuitiva ou pode ser mesmo formalizada ?
(sobre esse problema eu vi que se tem uma discussao filosófica
interessante, "saber" (ou "ser capaz de deduzir que") que a sentenca G
é verdadeira seria uma prova de que a mente humana supera os
computadores, isso seria um tal argumento de Lucas/Penrose...)
3)(e aqui uma pergunta que se alguém me fizer hoje eu nao sei
responder)
A sentenca de Godel G é equivalente a Con(PA). Assim, se eu assumo
Con(PA), estou assumindo que G é verdadeira. Ela nao deveria entao ser
verdadeira em todos os modelos de PA ? Como fica o argumento acima
para modelos nao-standard ?
É isso, espero que os especialistas possam me ajudar...
Grato,
[]s Samuel
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