Oi, Márcio!
Sobre sua pergunta dois, acho que dá para ver a coisa por essa perspectiva (para além da justificação rigorosa de teoremas):
No formalismo da Relatividade Especial, recuperamos resultados que já sabemos que devem ocorrer na Mecânica Clássica, talvez com alguma pequena novidade, diferença, generalização. Mas, além disso, temos algumas novidades ou restrições.
Sobre epsilon-delta, talvez no caso da reta a gente prove coisas intuitivas já conhecidas a partir desse formalismo (Teorema do Valor Médio, por exemplo), mas eu não consigo imaginar um estudo de Análise Funcional ou Teoria da Medida que não precise de tal "tecnologia".
De todo modo, parte do seu espanto está relacionado com o que eu já havia mencionado num outro e-mail: em que medida esses cálculos são "o" Cálculo, de forma equivalente? Acredito que tudo que você menciona, para além da história e sociologia, nos faz acreditar que há motivos para suspeitar que há de fato cálculos, no plural.
Grande abraço,
Júlio
On Jun 28, 2026 12:47, Márcio Palmares <[email protected]> wrote:
Pessoal,Estou com uma dúvida aqui e agradeceria qualquer palpite, dica, correção, crítica ou ajuda...A Margareth E. Baron, matemática e historiadora, escreveu um livro sobre as origens e a história do cálculo diferencial e integral. Foi publicado em 1969. É uma referência meio canônica, ao lado do livro do Boyer sobre o mesmo tema, publicado vinte anos antes (de fato, o D.J. Struik afirma em uma resenha que os dois livros formam um todo, são complementares).Ao analisar a contribuição de Arquimedes, Baron recorreu a uma interpretação interessante dos Bourbakis, segundo a qual, às vezes, na história da matemática, ocorre uma separação, uma fenda, um distanciamento entre a prática matemática real, os métodos efetivos de descoberta, heurística, invenção, e a superestrutura conceitual, lógica e dedutiva usada para demonstrar, encadear teoremas e expor resultados. Quanto maior essa fenda, esse gap, mais problemática e sujeita a crises (progressivas ou regressivas) está a matemática em questão.O caso de Arquimedes é emblemático porque ele expunha suas descobertas sobre quadraturas, cálculo de volumes, etc., segundo o cânone da época, usando o método de exaustão, para se adaptar à superestrutura intelectual aceita na época. Mas o método de exaustão não é um método de cálculo: é um método de demonstração. Ele não serve para calcular. Serve para demonstrar resultados já obtidos.Sabemos hoje, graças à descoberta do palimpsesto que continha "o método mecânico" de descoberta, que o cálculo efetivo de Arquimedes envolvia os indivisíveis de Demócrito e, portanto, recorria ao infinito atual, recusado no método de exaustão. A superestrutura lógica e dedutiva estava divorciada da infraestrutura técnica (o laboratório) e da estrutura (a matemática real, o cálculo real que conduz às descobertas). [A analogia com conceitos de Marx está por minha conta, não está na Baron ou nos Bourbakis.]Vejamos agora nossa situação presente.Eu fui um estudante de matemática muito cabeça dura: levava muito a sério tudo o que eu lia nos livros...No meu livro favorito de cálculo, a segunda edição do "Calculus" do Tom M. Apostol (considero este livro uma obra de arte), há uma passagem em que o autor diz que o dx que aparece no integrando de uma integral indefinida típica, não devemos considerar que a partícula dx tenha qualquer significado próprio. Em "integral de f(x)dx" a expressão f(x)dx deve ser vista como um tododo mesmo modo como o dicionário dá o significado da palavra 'Marte' sem fazer menção ao significado de 'Mar' e de 'te'.Ou seja, toda ocorrência de termos como dx ou dy nos cálculos seria destituída de sentido. Seriam meros resíduos sintáticos, ou meras notações, meros marcadores de posição...Eu acreditei nisso e me agarrei nisso com toda a força.Mas então eu saía da aula de cálculo, caminhava até o prédio ao lado, e entrava na aula de física.E então os dx e os dy estavam plenos de vida e de significado, carregados de sentido, de interpretação.E era lícito calcular com eles: dx/dy é efetivamente uma razão entre quantidades infinitamente pequenas!E as regras de cálculo dadas, por exemplo, por Leibniz, são no curso de física regras de cálculo mesmo, onde dx pode ser um "elemento infinitesimal de área", um comprimento infinitesimal de um arco de uma curva, etc. E a regra da cadeia ou a da derivada da função inversa são quocientes efetivos, e não meros símbolos vazios usados no lugar de f'(x)...Em outras palavras: parece que o gap, a fenda, segue existindo.Temos uma infraestrutura computacional, a matemática real, efetiva, usada para calcular, que emprega o infinitamente pequeno, e uma superestrutura lógica e dedutiva usada para dar definições e provas de teoremas: o aparato epsilon-delta, os quantificadores, o contínuo discretizado da reta real...Como eu era fanático, eu sabia dar demonstrações precisas usando a técnica epsilon-delta para diversos casos (simples) de funções mais ou menos típicas... Mas essas demonstrações não tem nada a ver com o cálculo como a matemática que usamos para estudar a variação contínua na natureza, na mecânica, no eletromagnetismo...Essa superestrutura conceitual da análise moderna é tão divorciada da base real sobre a qual o verdadeiro drama se desenrola quanto a monarquia britânica é divorciada da base econômica atual: o capitalismo monopolista e imperialista britânico. A superestrura paira no ar.Surgem então dois problemas:1) É estritamente correto ou justo do ponto de vista historiográfico falarmos em "notação de Leibniz"?Em Newton existe uma notação: pontinhos para denotar a derivada.Em Leibniz, não é notação: é cálculo efetivo.Não faço contas com pontinhos, são meros símbolos: não multiplico um pontinho por outro, não calculo quocientes de pontinhos... Mas faço cálculos com diferenciais.Uma notação, um símbolo que denota algo, como f'(x), é diferente de uma variável geométrica como dx.Minha hipótese aqui: o que nossos livros atuais de cálculo fazem (mesmo as obras primas), ao reproduzir a ideologia da "notação de Leibniz", é reproduzir sem querer, de forma inconsciente, o núcleo da acusação de plágio que Leibniz sofreu: o núcleo da acusação era o de que em Leibniz não havia um cálculo real, apenas uma notória habilidade para construir notações favoráveis. Essa noção contudo é falsa: Leibniz foi absolvido da acusação de plágio pelo Tribunal da História, mas o prejuízo contra a inteligibilidade de sua obra matemática permaneceu. A propósito, o livro da Margareth Baron contém um ataque brutal contra Leibniz e que reproduz integralmente o conteúdo da acusação de plágio. É um marco historiográfico: prova que o dano foi permanente.2) Na prática efetiva do cálculo diferencial e integral, o aparato epsilon-delta é alguma vez usado de forma produtiva, isto é, para gerar resultados novos, ou ele intervém apenas na fase da organização dedutiva de um saber já obtido por outros meios?Eu já tenho a minha tese. Essas perguntas são subprodutos dela. Embora eu esteja já quase totalmente convencido, gostaria muito de ouvir as opiniões de vocês, se possível.Obrigado!Abraços,M.--
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