Oi Márcio! Eu fiz graduação, mestrado e uma parte do doutorado na PUC-Rio, num departamento de Matemática em que todos os professores consideravam variáveis dependentes e "dx"s sem o sinal de integral (obs: esqueça formas diferenciais por enquanto!) como abusos de linguagem impossíveis de formalizar, e que tinham tantos casos ambíguos que era melhor evitar usá-los...
Há uns anos atrás eu comecei a tentar entender como essas notações eram usadas pelas pessoas que sabiam usá-las bem, e fiz um monte de perguntas sobre isso na mailing list do Maxima. Os dinossauros da lista me mostraram que o Maxima implementa algumas operações com variáveis dependentes e com diferenciais, mas não conseguiram apontar pros artigos - que eu desconfiei que existissem, mas até agora não tenho certeza - das pessoas que implementaram essas operações no Maxima nas décadas de 70 e 80... Eles também me recomendaram o "Structure and Interpretation of Classical Mechanics". Começa por essa resenha daqui, https://www.ias.edu/piet/publ/other/sicm e pelo prefácio do SICM - desconfio que você vai encontrar muitas idéias úteis lá. [[]], Eduardo On Sun, 28 Jun 2026 at 12:47, Márcio Palmares <[email protected]> wrote: > > Pessoal, > > Estou com uma dúvida aqui e agradeceria qualquer palpite, dica, correção, > crítica ou ajuda... > > A Margareth E. Baron, matemática e historiadora, escreveu um livro sobre as > origens e a história do cálculo diferencial e integral. Foi publicado em > 1969. É uma referência meio canônica, ao lado do livro do Boyer sobre o mesmo > tema, publicado vinte anos antes (de fato, o D.J. Struik afirma em uma > resenha que os dois livros formam um todo, são complementares). > > Ao analisar a contribuição de Arquimedes, Baron recorreu a uma interpretação > interessante dos Bourbakis, segundo a qual, às vezes, na história da > matemática, ocorre uma separação, uma fenda, um distanciamento entre a > prática matemática real, os métodos efetivos de descoberta, heurística, > invenção, e a superestrutura conceitual, lógica e dedutiva usada para > demonstrar, encadear teoremas e expor resultados. Quanto maior essa fenda, > esse gap, mais problemática e sujeita a crises (progressivas ou regressivas) > está a matemática em questão. > > O caso de Arquimedes é emblemático porque ele expunha suas descobertas sobre > quadraturas, cálculo de volumes, etc., segundo o cânone da época, usando o > método de exaustão, para se adaptar à superestrutura intelectual aceita na > época. Mas o método de exaustão não é um método de cálculo: é um método de > demonstração. Ele não serve para calcular. Serve para demonstrar resultados > já obtidos. > > Sabemos hoje, graças à descoberta do palimpsesto que continha "o método > mecânico" de descoberta, que o cálculo efetivo de Arquimedes envolvia os > indivisíveis de Demócrito e, portanto, recorria ao infinito atual, recusado > no método de exaustão. A superestrutura lógica e dedutiva estava divorciada > da infraestrutura técnica (o laboratório) e da estrutura (a matemática real, > o cálculo real que conduz às descobertas). [A analogia com conceitos de Marx > está por minha conta, não está na Baron ou nos Bourbakis.] > > Vejamos agora nossa situação presente. > > Eu fui um estudante de matemática muito cabeça dura: levava muito a sério > tudo o que eu lia nos livros... > > No meu livro favorito de cálculo, a segunda edição do "Calculus" do Tom M. > Apostol (considero este livro uma obra de arte), há uma passagem em que o > autor diz que o dx que aparece no integrando de uma integral indefinida > típica, não devemos considerar que a partícula dx tenha qualquer significado > próprio. Em "integral de f(x)dx" a expressão f(x)dx deve ser vista como um > todo > > do mesmo modo como o dicionário dá o significado da palavra 'Marte' sem fazer > menção ao significado de 'Mar' e de 'te'. > > Ou seja, toda ocorrência de termos como dx ou dy nos cálculos seria > destituída de sentido. Seriam meros resíduos sintáticos, ou meras notações, > meros marcadores de posição... > > Eu acreditei nisso e me agarrei nisso com toda a força. > > Mas então eu saía da aula de cálculo, caminhava até o prédio ao lado, e > entrava na aula de física. > > E então os dx e os dy estavam plenos de vida e de significado, carregados de > sentido, de interpretação. > > E era lícito calcular com eles: dx/dy é efetivamente uma razão entre > quantidades infinitamente pequenas! > > E as regras de cálculo dadas, por exemplo, por Leibniz, são no curso de > física regras de cálculo mesmo, onde dx pode ser um "elemento infinitesimal > de área", um comprimento infinitesimal de um arco de uma curva, etc. E a > regra da cadeia ou a da derivada da função inversa são quocientes efetivos, e > não meros símbolos vazios usados no lugar de f'(x)... > > Em outras palavras: parece que o gap, a fenda, segue existindo. > > Temos uma infraestrutura computacional, a matemática real, efetiva, usada > para calcular, que emprega o infinitamente pequeno, e uma superestrutura > lógica e dedutiva usada para dar definições e provas de teoremas: o aparato > epsilon-delta, os quantificadores, o contínuo discretizado da reta real... > > Como eu era fanático, eu sabia dar demonstrações precisas usando a técnica > epsilon-delta para diversos casos (simples) de funções mais ou menos > típicas... Mas essas demonstrações não tem nada a ver com o cálculo como a > matemática que usamos para estudar a variação contínua na natureza, na > mecânica, no eletromagnetismo... > > Essa superestrutura conceitual da análise moderna é tão divorciada da base > real sobre a qual o verdadeiro drama se desenrola quanto a monarquia > britânica é divorciada da base econômica atual: o capitalismo monopolista e > imperialista britânico. A superestrura paira no ar. > > Surgem então dois problemas: > > 1) É estritamente correto ou justo do ponto de vista historiográfico falarmos > em "notação de Leibniz"? > > Em Newton existe uma notação: pontinhos para denotar a derivada. > > Em Leibniz, não é notação: é cálculo efetivo. > > Não faço contas com pontinhos, são meros símbolos: não multiplico um pontinho > por outro, não calculo quocientes de pontinhos... Mas faço cálculos com > diferenciais. > > Uma notação, um símbolo que denota algo, como f'(x), é diferente de uma > variável geométrica como dx. > > Minha hipótese aqui: o que nossos livros atuais de cálculo fazem (mesmo as > obras primas), ao reproduzir a ideologia da "notação de Leibniz", é > reproduzir sem querer, de forma inconsciente, o núcleo da acusação de plágio > que Leibniz sofreu: o núcleo da acusação era o de que em Leibniz não havia um > cálculo real, apenas uma notória habilidade para construir notações > favoráveis. Essa noção contudo é falsa: Leibniz foi absolvido da acusação de > plágio pelo Tribunal da História, mas o prejuízo contra a inteligibilidade de > sua obra matemática permaneceu. A propósito, o livro da Margareth Baron > contém um ataque brutal contra Leibniz e que reproduz integralmente o > conteúdo da acusação de plágio. É um marco historiográfico: prova que o dano > foi permanente. > > 2) Na prática efetiva do cálculo diferencial e integral, o aparato > epsilon-delta é alguma vez usado de forma produtiva, isto é, para gerar > resultados novos, ou ele intervém apenas na fase da organização dedutiva de > um saber já obtido por outros meios? > > Eu já tenho a minha tese. Essas perguntas são subprodutos dela. Embora eu > esteja já quase totalmente convencido, gostaria muito de ouvir as opiniões de > vocês, se possível. > > Obrigado! > > Abraços, > > M. > > > -- > LOGICA-L > Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica > <[email protected]> > --- > Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos > Grupos do Google. > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um > e-mail para [email protected]. > Para ver esta conversa, acesse > https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAA_hCxX071gEoopvFcWun8Kaik4MHGRpE1OmP%2BtpfiivyK779Q%40mail.gmail.com. -- LOGICA-L Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica <[email protected]> --- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para [email protected]. 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