Olá, Márcio! Achei muito interessantes suas perguntas. Eu tenho me perguntado coisas parecidas.
Me aproximei da matemática em busca de um conhecimento imutável e da "verdade" (a noção ingênua de verdade), para ver como os matemáticos "descobrem" a matemática que está "por aí". Aos pouquinhos vou lendo e percebendo que a matemática está mais para uma implementação de ideias abstratas, projeções da razão humana, para lidar com padrões que nossos sentidos percebem do que há "lá fora" (digo "lá fora" para me referir ao que existe fora do nosso "aparelho" sensitivo, o cérebro; eu acredito que não é exagerada a premissa de que existe uma realidade que independe do pensamento humano). No início da história da matemática, projeções úteis da razão humana (abstrações) andavam muito próximas da discussão do que há "lá fora". Mais recentemente, os matemáticos vão se emancipando dessa relação entre nossas projeções abstratas da razão humana e o que há "lá fora", e a matemática vai virando algo mais introspectivo, voltado ao que há "aqui dentro" (nossa forma de raciocinar), nos perdendo cada vez mais nos labirintos do método axiomático e procurando implementar uma construção mental coerente. Daí a diversidade de implementações das ideias originais do cálculo, cada uma com seus prós e contras, sobre uma suposta bandeira do "rigor". Mas me parece que essas tentativas de implementar rigorosamente tais ideias abstratas em um determinado framework teórico podem acabar alienando toda uma comunidade de matemáticos que só conversa entre si, virando um clube exclusivo de uma "construçãozinha mental" bonita para colocar na prateleira. E me pergunto o quanto realmente isso tem a dizer sobre o problema original que originou as ideias, como no cálculo, onde os físicos já estavam usando e abusando sem se preocupar com os diversos "sabores" de implementações que os matemáticos vieram a criar. Não quero dizer que todas as implementações rigorosas das ideias abstratas do cálculo (ou qualquer outro domínio matemático) sejam apenas pedantismo exagerado dos matemáticos, mas podemos facilmente nos perder nessas implementações abstratas e levá-las muito a sério, como você mesmo disse ter levado em sua iniciação na matemática. Isso me faz lembrar do seguinte: *Problemas fundamentais e basilares nunca desaparecem. Cada geração formula suas próprias respostas, personalidades fortes impõem suas concepções... alguns ignoram aspectos específicos do problema para chegar a algum lugar, mas eles nunca somem por completo: esperam, pacientemente, do lado de fora da sua confortável construçãozinha mental.* — Gregory Chaitin, *MetaMath: The Quest for Omega* Por exemplo, a ideia do contínuo, que para mim é uma projeção da razão humana, e que ainda estamos perdidos tentando justificar tal ideia abstrata. Segue um trecho de uma entrevista do Prof. Chico Miraglia: https://www.youtube.com/clip/UgkxX6p5jra15Pf49Aa2kUz3HcIRFlOSdHkT Onde ele fala que ZFC, apesar do esforço descomunal para desenvolver esta "construçãozinha mental", ainda diz pouco sobre a ideia do contínuo. Mas o desenvolvimento dessa "construçãozinha mental" criou um clube exclusivo de matemáticos que se apavonam entre si, e nos cursos de matemática mundo afora menciona-se "ZFC" quase como um ponto final, os nove mandamentos que salvaram a matemática de uma suposta crise sobre seus fundamentos. É normal que se confie nessas coisas e sigamos em frente como se não houvesse nada de errado com nosso modo de trabalhar. A matemática ainda é, e deve continuar servindo, como uma espécie de aparato conceitual e linguístico que nos permite jogar uma espécie de "luminou" para fazer aparecer o que há "lá fora", mas parte da comunidade matemática acaba se distanciando muitas vezes desse propósito e vivendo no mundo abstrato. É claro que, eventualmente, como me disse certa vez o Prof. Carnielli, brincando, "a física encontra aplicação" nessa alienação dos matemáticos do mundo "aqui dentro". Mas, ainda assim, me parece que muitas vezes viramos técnicos desses labirintos mentais que talvez nada mais tenham a acrescentar sobre problemas basilares que, como disse Chaitin, nos aguardam pacientemente do lado de fora de nossas construções mentais. Se animar, gostaria poder conversar mais contigo sobre este assunto para trocarmos "figurinhas", me passar suas leituras e pensamentos. Forte abraço! Em dom., 28 de jun. de 2026 às 12:47, Márcio Palmares < [email protected]> escreveu: > Pessoal, > > Estou com uma dúvida aqui e agradeceria qualquer palpite, dica, correção, > crítica ou ajuda... > > A Margareth E. Baron, matemática e historiadora, escreveu um livro sobre > as origens e a história do cálculo diferencial e integral. Foi publicado em > 1969. É uma referência meio canônica, ao lado do livro do Boyer sobre o > mesmo tema, publicado vinte anos antes (de fato, o D.J. Struik afirma em > uma resenha que os dois livros formam um todo, são complementares). > > Ao analisar a contribuição de Arquimedes, Baron recorreu a uma > interpretação interessante dos Bourbakis, segundo a qual, às vezes, na > história da matemática, ocorre uma separação, uma fenda, um distanciamento > entre a prática matemática real, os métodos efetivos de descoberta, > heurística, invenção, e a superestrutura conceitual, lógica e dedutiva > usada para demonstrar, encadear teoremas e expor resultados. Quanto maior > essa fenda, esse gap, mais problemática e sujeita a crises (progressivas ou > regressivas) está a matemática em questão. > > O caso de Arquimedes é emblemático porque ele expunha suas descobertas > sobre quadraturas, cálculo de volumes, etc., segundo o cânone da época, > usando o método de exaustão, para se adaptar à superestrutura intelectual > aceita na época. Mas o método de exaustão não é um método de cálculo: é um > método de demonstração. Ele não serve para calcular. Serve para demonstrar > resultados já obtidos. > > Sabemos hoje, graças à descoberta do palimpsesto que continha "o método > mecânico" de descoberta, que o cálculo efetivo de Arquimedes envolvia os > indivisíveis de Demócrito e, portanto, recorria ao infinito atual, recusado > no método de exaustão. A superestrutura lógica e dedutiva estava divorciada > da infraestrutura técnica (o laboratório) e da estrutura (a matemática > real, o cálculo real que conduz às descobertas). [A analogia com conceitos > de Marx está por minha conta, não está na Baron ou nos Bourbakis.] > > Vejamos agora nossa situação presente. > > Eu fui um estudante de matemática muito cabeça dura: levava muito a sério > tudo o que eu lia nos livros... > > No meu livro favorito de cálculo, a segunda edição do "Calculus" do Tom M. > Apostol (considero este livro uma obra de arte), há uma passagem em que o > autor diz que o dx que aparece no integrando de uma integral indefinida > típica, não devemos considerar que a partícula dx tenha qualquer > significado próprio. Em "integral de f(x)dx" a expressão f(x)dx deve ser > vista como um todo > > do mesmo modo como o dicionário dá o significado da palavra 'Marte' sem > fazer menção ao significado de 'Mar' e de 'te'. > > Ou seja, toda ocorrência de termos como dx ou dy nos cálculos seria > destituída de sentido. Seriam meros resíduos sintáticos, ou meras notações, > meros marcadores de posição... > > Eu acreditei nisso e me agarrei nisso com toda a força. > > Mas então eu saía da aula de cálculo, caminhava até o prédio ao lado, e > entrava na aula de física. > > E então os dx e os dy estavam plenos de vida e de significado, carregados > de sentido, de interpretação. > > E era lícito calcular com eles: dx/dy é efetivamente uma razão entre > quantidades infinitamente pequenas! > > E as regras de cálculo dadas, por exemplo, por Leibniz, são no curso de > física regras de cálculo mesmo, onde dx pode ser um "elemento infinitesimal > de área", um comprimento infinitesimal de um arco de uma curva, etc. E a > regra da cadeia ou a da derivada da função inversa são quocientes efetivos, > e não meros símbolos vazios usados no lugar de f'(x)... > > Em outras palavras: parece que o gap, a fenda, segue existindo. > > Temos uma infraestrutura computacional, a matemática real, efetiva, usada > para calcular, que emprega o infinitamente pequeno, e uma superestrutura > lógica e dedutiva usada para dar definições e provas de teoremas: o aparato > epsilon-delta, os quantificadores, o contínuo discretizado da reta real... > > Como eu era fanático, eu sabia dar demonstrações precisas usando a técnica > epsilon-delta para diversos casos (simples) de funções mais ou menos > típicas... Mas essas demonstrações não tem nada a ver com o cálculo como a > matemática que usamos para estudar a variação contínua na natureza, na > mecânica, no eletromagnetismo... > > Essa superestrutura conceitual da análise moderna é tão divorciada da base > real sobre a qual o verdadeiro drama se desenrola quanto a monarquia > britânica é divorciada da base econômica atual: o capitalismo monopolista e > imperialista britânico. A superestrura paira no ar. > > Surgem então dois problemas: > > 1) É estritamente correto ou justo do ponto de vista historiográfico > falarmos em "notação de Leibniz"? > > Em Newton existe uma notação: pontinhos para denotar a derivada. > > Em Leibniz, não é notação: é cálculo efetivo. > > Não faço contas com pontinhos, são meros símbolos: não multiplico um > pontinho por outro, não calculo quocientes de pontinhos... Mas faço > cálculos com diferenciais. > > Uma notação, um símbolo que denota algo, como f'(x), é diferente de uma > variável geométrica como dx. > > Minha hipótese aqui: o que nossos livros atuais de cálculo fazem (mesmo as > obras primas), ao reproduzir a ideologia da "notação de Leibniz", é > reproduzir sem querer, de forma inconsciente, o núcleo da acusação de > plágio que Leibniz sofreu: o núcleo da acusação era o de que em Leibniz não > havia um cálculo real, apenas uma notória habilidade para construir > notações favoráveis. Essa noção contudo é falsa: Leibniz foi absolvido da > acusação de plágio pelo Tribunal da História, mas o prejuízo contra a > inteligibilidade de sua obra matemática permaneceu. A propósito, o livro da > Margareth Baron contém um ataque brutal contra Leibniz e que reproduz > integralmente o conteúdo da acusação de plágio. É um marco historiográfico: > prova que o dano foi permanente. > > 2) Na prática efetiva do cálculo diferencial e integral, o aparato > epsilon-delta é alguma vez usado de forma produtiva, isto é, para gerar > resultados novos, ou ele intervém apenas na fase da organização dedutiva de > um saber já obtido por outros meios? > > Eu já tenho a minha tese. Essas perguntas são subprodutos dela. Embora eu > esteja já quase totalmente convencido, gostaria muito de ouvir as opiniões > de vocês, se possível. > > Obrigado! > > Abraços, > > M. > > > -- > LOGICA-L > Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de > Lógica <[email protected]> > --- > Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos > Grupos do Google. > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie > um e-mail para [email protected]. > Para ver esta conversa, acesse > https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAA_hCxX071gEoopvFcWun8Kaik4MHGRpE1OmP%2BtpfiivyK779Q%40mail.gmail.com > <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAA_hCxX071gEoopvFcWun8Kaik4MHGRpE1OmP%2BtpfiivyK779Q%40mail.gmail.com?utm_medium=email&utm_source=footer> > . > -- LOGICA-L Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica <[email protected]> --- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. 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