Oi Júlio, Obrigado pela mensagem!
Pois é... depois daquele dia fiquei pensando na nossa conversa e acho que você tinha razão. Eu disse uma coisa errada. Imitando o desdém dos físicos, temos vários "formalismos" que resolvem a mesma classe de problemas: 1) Newton e Leibniz (cálculo com infinitesimais ou quantidades evanescentes); 2) Análise clássica, forma predominante hoje, que é o paradigma Weierstrass-Dedekind-Cantor; 3) Análise não-standard, do Abraham Robinson (com infinitesimais e lógica clássica); 4) Análise Infinitesimal suave, Lawvere-Kock (com infinitesimais e "lógica intuicionista", topos logic, mais precisamente); 5) Análise construtiva, do Bishop (sobre essa não sei nada exceto que é construtiva). Então, são pelo menos cinco formas distintas de atacar a mesma classe de problemas... Eu supus que houvesse algo invariante sob essas distintas "linguagens", e que esse algo invariante fosse o pensamento matemático, um tipo de racionalidade... E aí você observou que talvez houvesse círculo vicioso ou petição de princípios no que eu estava sugerindo. Então pensei bem e acho que você estava certo... o que é invariante aí são os problemas. Se o conhecimento é um tipo de criação da mente, e essas criações são claramente distintas, a invariancia está nos problemas e nas repostas finais... mas o modo de obter as repostas depende de criações distintas e são, portanto, produtos de conhecimentos distintos... Então, concordo com você: temos vários cálculos, mas só uma natureza lá fora. É o exterior que é invariante, não o nosso modo de atacá-lo. Estou tentando chegar numa formulação em que a matemática é histórica sem ser relativista, e em um pluralismo pragmático. Vamos ver se consigo. Quanto às formas superiores do conhecimento que derivam da análise moderna, acho que talvez existam modos alternativos de chegar a esses pontos, talvez essa geometria diferencial sintética da teoria dos topos... Mas acho que você está certo no fundamental: existe progresso feito a partir da análise moderna. Não posso desprezá-la em favor de um historicismo que ignore o progresso. Quero manter o progresso... A formulação tem que ser mais ou menos: matemática histórica sem ser relativista, com reconhecimento de que existe progresso, pluralismo de frameworks e critério pragmático de escolha entre frameworks. Acho que é isso. Obrigado mais uma vez! Abração! M. Em domingo, 28 de junho de 2026, Júlio Barczyszyn <[email protected]> escreveu: > Oi, Márcio! > > Sobre sua pergunta dois, acho que dá para ver a coisa por essa perspectiva > (para além da justificação rigorosa de teoremas): > > No formalismo da Relatividade Especial, recuperamos resultados que já > sabemos que devem ocorrer na Mecânica Clássica, talvez com alguma pequena > novidade, diferença, generalização. Mas, além disso, temos algumas > novidades ou restrições. > > Sobre epsilon-delta, talvez no caso da reta a gente prove coisas > intuitivas já conhecidas a partir desse formalismo (Teorema do Valor Médio, > por exemplo), mas eu não consigo imaginar um estudo de Análise Funcional ou > Teoria da Medida que não precise de tal "tecnologia". > > De todo modo, parte do seu espanto está relacionado com o que eu já havia > mencionado num outro e-mail: em que medida esses cálculos são "o" Cálculo, > de forma equivalente? Acredito que tudo que você menciona, para além da > história e sociologia, nos faz acreditar que há motivos para suspeitar que > há de fato cálculos, no plural. > > Grande abraço, > Júlio > > > On Jun 28, 2026 12:47, Márcio Palmares <[email protected]> wrote: > > Pessoal, > > Estou com uma dúvida aqui e agradeceria qualquer palpite, dica, correção, > crítica ou ajuda... > > A Margareth E. Baron, matemática e historiadora, escreveu um livro sobre > as origens e a história do cálculo diferencial e integral. Foi publicado em > 1969. É uma referência meio canônica, ao lado do livro do Boyer sobre o > mesmo tema, publicado vinte anos antes (de fato, o D.J. Struik afirma em > uma resenha que os dois livros formam um todo, são complementares). > > Ao analisar a contribuição de Arquimedes, Baron recorreu a uma > interpretação interessante dos Bourbakis, segundo a qual, às vezes, na > história da matemática, ocorre uma separação, uma fenda, um distanciamento > entre a prática matemática real, os métodos efetivos de descoberta, > heurística, invenção, e a superestrutura conceitual, lógica e dedutiva > usada para demonstrar, encadear teoremas e expor resultados. Quanto maior > essa fenda, esse gap, mais problemática e sujeita a crises (progressivas ou > regressivas) está a matemática em questão. > > O caso de Arquimedes é emblemático porque ele expunha suas descobertas > sobre quadraturas, cálculo de volumes, etc., segundo o cânone da época, > usando o método de exaustão, para se adaptar à superestrutura intelectual > aceita na época. Mas o método de exaustão não é um método de cálculo: é um > método de demonstração. Ele não serve para calcular. Serve para demonstrar > resultados já obtidos. > > Sabemos hoje, graças à descoberta do palimpsesto que continha "o método > mecânico" de descoberta, que o cálculo efetivo de Arquimedes envolvia os > indivisíveis de Demócrito e, portanto, recorria ao infinito atual, recusado > no método de exaustão. A superestrutura lógica e dedutiva estava divorciada > da infraestrutura técnica (o laboratório) e da estrutura (a matemática > real, o cálculo real que conduz às descobertas). [A analogia com conceitos > de Marx está por minha conta, não está na Baron ou nos Bourbakis.] > > Vejamos agora nossa situação presente. > > Eu fui um estudante de matemática muito cabeça dura: levava muito a sério > tudo o que eu lia nos livros... > > No meu livro favorito de cálculo, a segunda edição do "Calculus" do Tom M. > Apostol (considero este livro uma obra de arte), há uma passagem em que o > autor diz que o dx que aparece no integrando de uma integral indefinida > típica, não devemos considerar que a partícula dx tenha qualquer > significado próprio. Em "integral de f(x)dx" a expressão f(x)dx deve ser > vista como um todo > > do mesmo modo como o dicionário dá o significado da palavra 'Marte' sem > fazer menção ao significado de 'Mar' e de 'te'. > > Ou seja, toda ocorrência de termos como dx ou dy nos cálculos seria > destituída de sentido. Seriam meros resíduos sintáticos, ou meras notações, > meros marcadores de posição... > > Eu acreditei nisso e me agarrei nisso com toda a força. > > Mas então eu saía da aula de cálculo, caminhava até o prédio ao lado, e > entrava na aula de física. > > E então os dx e os dy estavam plenos de vida e de significado, carregados > de sentido, de interpretação. > > E era lícito calcular com eles: dx/dy é efetivamente uma razão entre > quantidades infinitamente pequenas! > > E as regras de cálculo dadas, por exemplo, por Leibniz, são no curso de > física regras de cálculo mesmo, onde dx pode ser um "elemento infinitesimal > de área", um comprimento infinitesimal de um arco de uma curva, etc. E a > regra da cadeia ou a da derivada da função inversa são quocientes efetivos, > e não meros símbolos vazios usados no lugar de f'(x)... > > Em outras palavras: parece que o gap, a fenda, segue existindo. > > Temos uma infraestrutura computacional, a matemática real, efetiva, usada > para calcular, que emprega o infinitamente pequeno, e uma superestrutura > lógica e dedutiva usada para dar definições e provas de teoremas: o aparato > epsilon-delta, os quantificadores, o contínuo discretizado da reta real... > > Como eu era fanático, eu sabia dar demonstrações precisas usando a técnica > epsilon-delta para diversos casos (simples) de funções mais ou menos > típicas... Mas essas demonstrações não tem nada a ver com o cálculo como a > matemática que usamos para estudar a variação contínua na natureza, na > mecânica, no eletromagnetismo... > > Essa superestrutura conceitual da análise moderna é tão divorciada da base > real sobre a qual o verdadeiro drama se desenrola quanto a monarquia > britânica é divorciada da base econômica atual: o capitalismo monopolista e > imperialista britânico. A superestrura paira no ar. > > Surgem então dois problemas: > > 1) É estritamente correto ou justo do ponto de vista historiográfico > falarmos em "notação de Leibniz"? > > Em Newton existe uma notação: pontinhos para denotar a derivada. > > Em Leibniz, não é notação: é cálculo efetivo. > > Não faço contas com pontinhos, são meros símbolos: não multiplico um > pontinho por outro, não calculo quocientes de pontinhos... Mas faço > cálculos com diferenciais. > > Uma notação, um símbolo que denota algo, como f'(x), é diferente de uma > variável geométrica como dx. > > Minha hipótese aqui: o que nossos livros atuais de cálculo fazem (mesmo as > obras primas), ao reproduzir a ideologia da "notação de Leibniz", é > reproduzir sem querer, de forma inconsciente, o núcleo da acusação de > plágio que Leibniz sofreu: o núcleo da acusação era o de que em Leibniz não > havia um cálculo real, apenas uma notória habilidade para construir > notações favoráveis. Essa noção contudo é falsa: Leibniz foi absolvido da > acusação de plágio pelo Tribunal da História, mas o prejuízo contra a > inteligibilidade de sua obra matemática permaneceu. A propósito, o livro da > Margareth Baron contém um ataque brutal contra Leibniz e que reproduz > integralmente o conteúdo da acusação de plágio. É um marco historiográfico: > prova que o dano foi permanente. > > 2) Na prática efetiva do cálculo diferencial e integral, o aparato > epsilon-delta é alguma vez usado de forma produtiva, isto é, para gerar > resultados novos, ou ele intervém apenas na fase da organização dedutiva de > um saber já obtido por outros meios? > > Eu já tenho a minha tese. Essas perguntas são subprodutos dela. Embora eu > esteja já quase totalmente convencido, gostaria muito de ouvir as opiniões > de vocês, se possível. > > Obrigado! > > Abraços, > > M. > > > -- > LOGICA-L > Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de > Lógica <[email protected]> > --- > Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos > Grupos do Google. > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie > um e-mail para [email protected]. > Para ver esta conversa, acesse https://groups.google.com/a/ > dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAA_hCxX071gEoopvFcWun8Kaik4MHGRpE > 1OmP%2BtpfiivyK779Q%40mail.gmail.com > <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAA_hCxX071gEoopvFcWun8Kaik4MHGRpE1OmP%2BtpfiivyK779Q%40mail.gmail.com?utm_medium=email&utm_source=footer> > . > > > -- LOGICA-L Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica <[email protected]> --- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. 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