On Sat, Mar 09, 2002 at 02:27:08AM -0300, Alexandre Tessarollo wrote:
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> Estava olhando um prob que propuseram na lista (DADO um �ngulo de
> 19, construir o de 1) e lembrei que o �ngulo de 1 n�o � construt�vel,
> mas n�o lembro como provar... Algu�m se habilita?
A prova exige um pouco de �lgebra. Chamamos um n�mero complexo z de
*construt�vel* se existirem corpos K_0 = Q < K_1 < ... < K_n
(onde o sinal < significa '� subcorpo de', imagine o sinal usual
de '� subconjunto de', aquele U deitado) tais que z pertence a K_n
e K_{j+1} = K_j (w) para algum w com w^2 pertencente a K_j.
A nota��o K(x) significa 'o menor corpo contendo K U {x}'.
Identifique o plano com C, o conjunto dos complexos.
N�o � dif�cil verificar que se come�amos com pontos construt�veis
ent�o qualquer constru��o com r�gua e compasso nos d� ainda pontos
construt�veis.
Falta portanto provar que z = cos(1) + i sen(1) n�o � construt�vel.
Se fosse, w = z^40 = cos(40) + i sen(40) tamb�m seria.
Mas o grau de Q(w) sobre Q � 6 e portanto o grau de qualquer
corpo K com w elemento de K � m�ltiplo de 3.
Por outro lado, os graus dos corpos K_n (na defini��o de n�mero construt�vel)
s�o pot�ncias de 2.
[]s, N.
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