Bom, acho que o polin�mio que o Niski quer fatorar em
R � x^6 + x^3y^3 + y^6 e n�o x^6 + x^3y^3 + y^3. O
segundo n�o sei ainda como fatorar, mas d� para
fatorar o primeiro. Imaginando P(x,y) = x^6 + x^3y^3 +
y^6 como um polin�mio em x, temos que P(x,y) = 0 se e
somente se x^9 = y^9 com x^3 diferente de y^3 (observe
que P(x,y) = (x^9 - y^9)/(x^3 - y^3). Logo x = y*w^k,
sendo w = cos(2pi/9) + isen(2pi/9) (� isso a�, w � uma
raiz nona da unidade!), k = 1,2,4,5,7,8. Queremos
fatorar em reais, assim devemos juntar as ra�zes
conjugadas, ou seja, as associadas a 1 e 8, 2 e 7 e 4
e 5. Assim,
P(x,y) = (x^2 - 2cos(2pi/9)xy + y^2)
*(x^2 - 2cos(4pi/9)xy + y^2)
*(x^2 - 2cos(8pi/9)xy + y^2)
N�o d� para fatorar mais pois as ra�zes (ainda
pensando que P(x,y) � um polin�mio em x) s�o complexas
n�o reais.
Bom, vamos ver se n�o errei conta (isso �
importante!). Se abrirmos tudo, temos
P(x,y) = x^6 + y^6 - 2(x^5y + xy^5)s_1 +
(x^4y^2 + x^2y^4)(3 + 4s_2) +
x^3y^3(-4s_1 - 8s_3)
s_1 = cos(2pi/9) + cos(4pi/9) + cos(8pi/9)
s_2 = cos(2pi/9)*cos(4pi/9) +
cos(4pi/9)*cos(8pi/9) +
cos(8pi/9)*cos(2pi/9)
s_3 = cos(2pi/9)*cos(4pi/9)*cos(8pi/9)
Parece dureza calcular s_1, s_2 e s_3? Use n�meros
complexos! Veja que
s_1 = [e^(i*2pi/9) + e^(-i*2pi/9)
+ e^(i*4pi/9) + e^(-i*4pi/9)
+ e^(i*8pi/9) + e^(-i*8pi/9)]/2
= [e^(i*2pi/9) + e^(i*16pi/9)
+ e^(i*4pi/9) + e^(i*14pi/9)
+ e^(i*8pi/9) + e^(i*10pi/9)]/2
= [-1 - e^(i*2pi/3) - e^(-i*2pi/3)]/2
= -1/2 - cos(2pi/3)
= 0
Em um certo momento, usei o fato de que e^(i*2pi/9) +
e^(i*4pi/9) + e^(i*6pi/9) + ... + e^(i*18pi/9) = 0
(temos que e^(i*2k*pi/9), k=1,2,3,...,9 s�o as ra�zes
da equa��o x^9 - 1 = 0).
Com mais complexos, encontramos s_2 = -3/4 e
s_3 = -1/8. Para achar s_3, vc pode tamb�m usar um
"catalisador":
s_3
= cos(2pi/9)cos(4pi/9)cos(8pi/9)
= sen(2pi/9)cos(2pi/9)cos(4pi/9)cos(8pi/9)/sen(2pi/9)
= sen(4pi/9)cos(4pi/9)cos(8pi/9)/2sen(2pi/9)
= sen(8pi/9)cos(8pi/9)/4sen(2pi/9)
= sen(16pi/9)/8sen(2pi/9)
= -sen(2pi/9)/8sen(2pi/9)
= -1/8
Substituindo, verifica-se que a fatora��o est�
correta. E viva os complexos!
[]'s
Shine
--- niski <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Davidson Estanislau wrote:
> >
> > Ainda n�o entendi!
> >
> > Voc� pode ser mais claro?
> >
> > x^6 + x^3y^3 + y^3 = (1/4)(2x^3 + y^3 + (y^6 -
> 4y^3)^(1/2))(2x^3 + y^3 -
> > (y^6 - 4y^3)^(1/2)); (y^6 - 4y^3)>=0
> >
> > Eu n�o transformei o polin�mio original em um
> produto de dois outros
> > polin�mios? Onde est� o erro?
>
> Pq vc restringiu o dominio.
> Veja, � para fatorar nos reais certo?
> O seu resultado estaria certo se o enunciado fosse
> "fatorar em Reais, execto para y 0 < y < 2^(2/3)"
>
>
>
> > O fato de (y^6 - 4y^3) > 0, � somente uma
> condi��o para que n�o apare�a
> > uma raiz negativa. N�o houve necessidade que
> indicar uma condi��o de
> > exist�ncia para a vari�vel x. Mas se voc� tivesse
> fatorado, da seguinte
> > maneira:
> >
> > x^6 + x^3y^3 + y^6
> > (x^3 + y^3)^2 - x^2y^3
> > [x^3 + y^3 + xy((xy)^1/2][x^3 + y^3 -
> xy((xy)^1/2]
> >
> > A condi��o, seria: x<>0 e y<>0.
> >
> > Olhando pela primeira fatora��o poder�amos ter
> dito que voc� restringiu
> > x, n�o �?
>
> Sim, creio que essa fatoracao esteja igualmente
> errada a sua ultima,
> pois do mesmo modo que
> fazer x <> 0 e y <> 0 seria um erro pois estaria
> restringindo o dominio,
> fazer 0 < y < 2^(2/3) � a mesma coisa creio eu.
>
>
> --
> [about him:]
> "It is rare to find learned men who are clean, do
> not stink and have a
> sense of humour."
> Gottfried Whilhem Leibniz
>
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