> -- Mensagem original -- > > >3)Se x+y+z=1, comx,y,z positivos, mostre que o<=xy+yz+zx-2xyz<=7/27.
Solucao: Podemos supor z<= 1/2 (se z > 1/2 então x<=1/2 ou y<=1/2). Temos yz+zx+xy-2xyz = z(x+y)+xy(1-2z). Como z>=0, x+y>=0, xy>=0 e 1-2z>=0, concluimos que 0=<xy+yz+zx-2xyz (*). Por outro lado, (x-y)^2>=0 <=> x^2+y^2>=2xy <=> (x+y)^2>=4xy <=> (1/4)(x+y)^2>=xy, como x+y=1-z, temos (1/4)(1-z)^2>=xy. Assim z(x+y)+xy(1-2z) -7/27 <= z(1-z)+(1/4)(1-z)^2 (1-2z) - 7/27 = [-(3z-1)^2 (6z+1)]/108<=0 Assim xy+yz+zx-2xyz<=7/27(**). De (*) e (**): 0=<xy+yz+zx-2xyz<=7/27. > >4)(CMO-1997) Prove que > >1/1999<1/2*3/4*5/6*.....*1997/1998<1/44. > > Se alguem fizer algum ou todos( risos ), eu agradeço! > > Crom > > > >(CMO-1996) > >Seja n um número natural tal que n>=2. Mostre que : > >1/(n+1)*( 1+1/3+....+1/(2n-1)>(1/n)*(1/2+1/4+...+1/2n). > >2) se x,y,z são números postivos, mostre que > >x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2>=y/x+z/y+x/z. > >3)Se x+y+z=1, comx,y,z positivos, mostre que o<=xy+yz+zx-2xyz<=7/27. > >4)(CMO-1997) Prove que > >1/1999<1/2*3/4*5/6*.....*1997/1998<1/44. > > Se alguem fizer algum ou todos( risos ), eu agradeço! > > Crom > > > >(CMO-1996) > >Seja n um número natural tal que n>=2. Mostre que : > >1/(n+1)*( 1+1/3+....+1/(2n-1)>(1/n)*(1/2+1/4+...+1/2n). > >2) se x,y,z são números postivos, mostre que > >x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2>=y/x+z/y+x/z. > >3)Se x+y+z=1, comx,y,z positivos, mostre que o<=xy+yz+zx-2xyz<=7/27. > >4)(CMO-1997) Prove que > >1/1999<1/2*3/4*5/6*.....*1997/1998<1/44. > > Se alguem fizer algum ou todos( risos ), eu agradeço! > > Crom > > > >========================================================================= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >========================================================================= > > > > > > _____________________________________ > eMTV: receba a mordomia eletrônica! > http://mtv.uol.com.br/emtv > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================