Sauda,c~oes, A demonstra��o que conhe�o e que est� no livro de Indu��o que escrevi (problema 95) � meio delicada.
Come�a assim: Demonstre o seguinte teorema: um polin�mio p(x) � identicamente nulo se, e somente se, todos os seus coeficientes s�o nulos. Observa��o: diz-se que um polin�mio p(x) � identicamente nulo se, e somente se, p(x)=0 para todo x. Tendo demonstrado o teorema, cito e demonstro dois corol�rios. 1) dois polin�mios p(x) e q(x) s�o id�nticos se, e somente se, eles t�m o mesmo grau e os coeficientes das pot�ncias de mesmo grau em x s�o iguais. 2) seja p(x) o polin�mio a_nx^n + .... + a_1x + a_0. Ent�o, podemos escrever p(x) como p(x)=a_n(x-r_1)....(x-r_n), onde os r_i s�o as ra�zes de p(x). Este resultado depende do resultado do problema 92. O uso do teorema do problema 95 � concluir que a_n tem que ser a_n (por ser o coeficiente de x^n nos dois polin�mios). []'s Luis -----Mensagem Original----- De: Carlos Frederico Borges Palmeira <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: quarta-feira, 29 de maio de 2002 05:33 Assunto: Re: [obm-l] unicidade de polinomios > olhando com mais cuidado, vejo que escorreguei tambem. De fato se for > verdade para todo k de 0 a n-1, e' verdade para n. isto e' o que foi > demonstrado. so que n esta' fixo. como foi observado pelo arnaldo, nao da > nem para passar de 0 para 1. Uma alternativa para o passo de inducao e' > supondo verdade a igualdade dos coeficientes ate' k ,obtemos a igualdade > a(k+1)x^k+1 + a(k+2)x^k+2+...= b(k+1)x^k+1+... Dividindo por x^k+1 e > fazendo x=0, obtem-se a(k+1)=b(k+1). > Fred Palmeira > > On Wed, 29 May 2002, Carlos Frederico Borges Palmeira wrote: > > > oi gabriel, > > o sua professora de fato escorregou na utilizacao do principio da > > inducao. A forma usual e' provar que vale para n=0, e provar que se vale > > para n entao vale para n+1. Outra forma e' provar que vale para n=0 e > > provar que se vale para todo k de 0 a n , entao vale para n+1. > > Apaarentemente ela disse que ia usar a 1a e de fato usou a 2a. Como voce > > observou a 1a forma e' insuficiente para esta demonstracao. na passagem > > destacada abaixo, e' de fato necessario a 2a forma. > > []s > > Fred Palmeira > > > > > > > > > > > > On Tue, 28 May 2002 [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > > > Ol� pessoal da lista, > > > me surgiu uma d�vida durante uma aula de an�lise que a professora nao conseguiu > > > tirar.. > > > > > > Seja f(x)=a0+a1x+..+anx^n, g(x)=b0+b1x+..+bnx^n polin�mios de grau n, onde > > > f(x)=g(x) qualquer que seja x, prove que ai=bi para i=0,..,n .. para todo > > > n natural. > > > > > > demonstra��o da professora: > > > > > > seja h(x)=f(x)-g(x)=0 para todo x real, por hipotese > > > logo como h(0)=0 entao a0=b0 > > > por inducao, suponha que a(n-1)=b(n-1), logo, como h(1)=0 temos: > > > a0+..+a(n-1)+an=b0+..+b(n-1)+bn, > > para passar para a proxima linha precisa supor verdade para todo k de 0 a > > n. > > ************************************ > > como > > > a0+..+a(n-1)=b0+..+b(n-1), temos que an=bn > > **************************************** > > > > > > > > logo, por indu��o temos que vale para todo n > > > > > > minha d�vida �: > > > > > > seja um polinomio h(x) de grau n, onde h(0)=0 e h(1)=0, prove que a0=a1=..=an=0 > > > para todo n. > > > > > > obviamente isto � falso, mas eu consigo demonstrar utilizando a prova dela.. > > > por isso acho q tem alguma coisa errada com a hipotese de inducao .. talvez > > > deva haver uma inclusao da hipotese de haver n+1 zeros para o grau n .. > > > tentei explicar isto para ela, mas ela nao concordou .. ser� que algu�m > > > pode me ajudar ?? > > > > > > muito obrigado !! > > > > > > Gabriel Haeser > > > www.gabas.cjb.net > > > > > > > > > "Mathematicus nascitur, non fit" > > > Matem�ticos n�o s�o feitos, eles nascem > > > --------------------------------------- > > > Gabriel Haeser > > > www.gabas.cjb.net > > > > > > > > > ------------------------------------------ > > > Use o melhor sistema de busca da Internet > > > Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > > > > > > > > > > > > ========================================================================= > > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> > > > ========================================================================= > > > > > > > ========================================================================= > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> > > ========================================================================= > > > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
