MensagemSuponha que n�o existem complexos. Na verdade, isso � mais por conveni�ncia, j� que n�o sei nada sobre complexos, mas parece razo�vel que a soma de dois n�meros reais seja real.
Um n�mero racional � aquele que pode ser expresso pelo quociente de dois inteiros p e q. Suponha, por absurdo, que sqrt(3)+sqrt(5)=p/q q(sqrt(3)+sqrt(5))=p q*sqrt(3)+q*sqrt(5)=p Ora, para que a soma q*sqrt(3)+q*sqrt(5) seja inteira, � preciso que cada parcela seja racional (big d�vida: ser� mesmo? Dois n�meros irracionais podem ter soma inteira? Algu�m vai ter que conferir isto aqui). A �nica forma de que isso aconte�a � (i) q=a/sqrt(3) e q=b/sqrt(5); a e b racionais a/sqrt(3) = b/sqrt(5) a*sqrt(5)=b*sqrt(3) a/b = sqrt(3)/sqrt(5) <--- irracional. Contradizendo (i). � uma demonstra��o meio trapaceada. Se for v�lida, � f�cil expandir para quaisquer primos, j� que a sqrt() de um primo � sempre irracional. Ser� que d� para demonstrar que a soma de dois irracionais n�o pode ser racional - excetuando o 0? Um, suponha, por absurdo, que dois n�meros irracionais podem ter soma racional diferente de zero. (i) x + y = p/q y=(p-qx)/q x-y = x - (p-qx)/q = (qx-p-qx)/q=-p/q Mas por (i), x+y = p/q; logo, -x-y = -p/q x-y=-x-y ==> x = -x, o que s� vale para 0. E nesse caso, y = p/q, ou seja, racional. Logo, dois n�meros irracionais diferentes de zero n�o podem ter soma racional diferente de zero. T�, esta segunda parte tamb�m parece um pouco trapaceada. Acho que preciso de ajuda. Mas se isto for verdade, a demonstra��o 3) � trivial, e as tr�s est�o respondidas. ----- Original Message ----- From: Hely Jr. To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, April 03, 2003 10:58 PM Subject: [obm-l] Demonstra��es Alguem poderia me ajudar nestas demonstra��es 1) sabendo que sqrt(3) e sqrt(5) s�o irracionais, verifique que sqrt(3) + sqrt(5) � irracional. 2) sejam p> 0 e q>0 primos distintos. verifique que sqrt(p) + sqrt(q) � irracional 3) se p e q s�o inteiros positivos distintos e pelo menos um dos numeros sqrt(p) ou sqrt(q) � irracional, ent�o sqrt(p) + sqrt(q) � tb irracional. desde ja agrade�o ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
