Subject: [obm-l] Demonstra��es Alguem poderia me ajudar nestas demonstra��es � 1) sabendo que sqrt(3) e sqrt(5) s�o irracionais, verifique que sqrt(3) + sqrt(5) � irracional. � 2) sejam p> 0 e q>0 primos distintos. verifique que sqrt(p) + sqrt(q) � irracional � 3) se p e q s�o inteiros positivos distintos e pelo menos um dos numeros sqrt(p) ou sqrt(q) � irracional, ent�o sqrt(p) + sqrt(q) � tb irracional. � desde ja agrade�o
Oi a todos! Os itens 1 e 2 j� foram demonstrados por v�rios colegas. O 3 , na realidade, vale se p e q forem racionais, ainda que n�o necessariamente inteiros. E n�o � preciso que sejam distintos. Seja S = sqrt(p) + sqrt(q) e suponhamos, sem perda de generalidade, que sqrt(q) seja irracional. Segue-se que sqrt(p) = S - sqrt(q) => p = S^2 - 2S sqrt(q) + q. Por hip�tese, q � racional. Se S for racional, ent�o s^2 � racional e 2S sqrt(q) � irracional, pois, por hip�tese, sqrt(q) � irracional. Logo, = S^2 - 2S sqrt(q) + q � irracional, o que contraria a hip�tese de que p � racional. Disso concluimos que S tem necessariamente que ser irracional. Dito de outra forma: se p e q forem racionais, ent�o sqrt(p) + sqrt(q) � racional se, e somente se, sqrt(p) e sqrt(q) tamb�m o forem. Artur ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
