Subject: [obm-l] Demonstrações Alguem poderia me ajudar nestas demonstrações 1) sabendo que sqrt(3) e sqrt(5) são irracionais, verifique que sqrt(3) + sqrt(5) é irracional. 2) sejam p> 0 e q>0 primos distintos. verifique que sqrt(p) + sqrt(q) é irracional 3) se p e q sào inteiros positivos distintos e pelo menos um dos numeros sqrt(p) ou sqrt(q) é irracional, então sqrt(p) + sqrt(q) é tb irracional. desde ja agradeço
Oi a todos! Os itens 1 e 2 já foram demonstrados por vários colegas. O 3 , na realidade, vale se p e q forem racionais, ainda que não necessariamente inteiros. E não é preciso que sejam distintos. Seja S = sqrt(p) + sqrt(q) e suponhamos, sem perda de generalidade, que sqrt(q) seja irracional. Segue-se que sqrt(p) = S - sqrt(q) => p = S^2 - 2S sqrt(q) + q. Por hipótese, q é racional. Se S for racional, então s^2 é racional e 2S sqrt(q) é irracional, pois, por hipótese, sqrt(q) é irracional. Logo, = S^2 - 2S sqrt(q) + q é irracional, o que contraria a hipótese de que p é racional. Disso concluimos que S tem necessariamente que ser irracional. Dito de outra forma: se p e q forem racionais, então sqrt(p) + sqrt(q) é racional se, e somente se, sqrt(p) e sqrt(q) também o forem. Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================