> Tomei a liberdade de inserir alguns comentarios em sua mensagem. Espero que > voce nao se importe.
Ei, � claro que eu n�o me incomodo. Eu estou tentando aprender alguma coisa. Eu achava mesmo que a minha narrativa tinha algum erro: surgiu um resultado geral demais r�pido demais. Na verdade, fiquei com vontade de enviar para a lista justamente por desconfiar da minha solu��o. Em todo caso, a minha escorregada parece ser n�o ter reduzido os irracionais a alguns n�meros especiais. E se os separ�ssemos? Seja A o conjunto das ra�zes quadradas de n�meros primos. Parece-me que podemos dizer que: 1) A � subconjunto de I. 2) para quaisquer x,y em A, x+y � irracional. 3) para quaisquer x,y em A, x/y � irracional. O problema � que n�o tenho tempo para tentar provar essas tr�s proposi��ezinhas. Fazendo as pequenas altera��es, parece que a prova da quest�o 1) vale. Ou n�o vale? ----- Original Message ----- From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, April 04, 2003 1:30 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstra��es > Caro Diego: > > > on 03.04.03 23:53, Diego Navarro at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > MensagemSuponha que n�o existem complexos. Na verdade, isso � mais por > > conveni�ncia, j� que n�o sei nada sobre complexos, mas parece razo�vel que a > > soma de dois n�meros reais seja real. > > > > Um n�mero racional � aquele que pode ser expresso pelo quociente de dois > > inteiros p e q. Suponha, por absurdo, que > > > > sqrt(3)+sqrt(5)=p/q > > q(sqrt(3)+sqrt(5))=p > > q*sqrt(3)+q*sqrt(5)=p > > > > Ora, para que a soma q*sqrt(3)+q*sqrt(5) seja inteira, � preciso que cada > > parcela seja racional > > > (big d�vida: ser� mesmo? Dois n�meros irracionais > > podem ter soma inteira? > > Sim. Por exemplo: 2 + raiz(2) e 2 - raiz(2) sao ambos irracionais mas tem > soma = 4. > > O problema 1 estah mal formulado, pois da a impressao de que se a e b sao > irracionais entao a+b eh irracional, o que, pelo exemplo acima, nao eh > sempre verdade, apesar de ser verdade com a = raiz(3) e b = raiz(5). > > > > Algu�m vai ter que conferir isto aqui). A �nica > > forma de que isso aconte�a � > > > > (i) q=a/sqrt(3) e q=b/sqrt(5); a e b racionais > > > > > > a/sqrt(3) = b/sqrt(5) > > a*sqrt(5)=b*sqrt(3) > > a/b = sqrt(3)/sqrt(5) <--- irracional. Contradizendo (i). > > > Este argumento eh invalido. > raiz(3)/raiz(5) eh de fato irracional mas nao decorre simplesmente do fato > de raiz(3) e raiz(5) serem ambos irracionais. > > Por exemplo, raiz(18) e raiz(2) sao ambos irracionais, mas raiz(18)/raiz(2) > = 3, que eh racional. > > > � uma demonstra��o meio trapaceada. Se for v�lida, � f�cil expandir para > > quaisquer primos, j� que a sqrt() de um primo � sempre irracional. > Verdade, mas isso nao foi demonstrado. > > >Ser� que d� para demonstrar que a soma de dois irracionais n�o pode ser > >racional - excetuando o 0? > Nao, pois isso nao eh verdade. Vide exemplo acima. > > > Um, suponha, por absurdo, que dois n�meros irracionais podem ter soma > > racional diferente de zero. > > > > (i) x + y = p/q > > y=(p-qx)/q > > > > x-y = x - (p-qx)/q = (qx-p-qx)/q=-p/q > > > > Mas por (i), x+y = p/q; logo, -x-y = -p/q > > > > x-y=-x-y ==> x = -x, o que s� vale para 0. E nesse caso, y = p/q, ou seja, > > racional. Logo, dois n�meros irracionais diferentes de zero n�o podem ter > > soma racional diferente de zero. > > > > T�, esta segunda parte tamb�m parece um pouco trapaceada. Acho que preciso > > de ajuda. Mas se isto for verdade, a demonstra��o 3) � trivial, e as tr�s > > est�o respondidas. > > > > A melhor maneira de se resolver os tres problemas de uma vez so eh provando > o seguinte resultado mais geral: > > Seja N um inteiro nao negativo. Entao: > raiz(N) eh racional se e somente se N eh um quadrado perfeito. > Dem: > Se N = 0 ou N = 1, o resultado eh obvio. Assim, suponhamos que N >= 2. > > Se N eh um q.p., entao existe um inteiro nao negativo M tal que N = M^2. > Assim, raiz(N) = raiz(M^2) = M, que eh inteiro e, portanto, racional. > > Se raiz(N) eh racional, entao existem inteiros positivos P e Q, primos entre > si, tais que raiz(N) = P/Q. > Isso implica que N = P^2/Q^2, ou seja, P^2 = N * Q^2. > Naturalmente temos que N divide P^2. > Por outro lado, como mdc(P,Q) = 1, cada primo que divide P^2 terah > necessariamente que dividir N. Isso implica que P^2 divide N. > Assim, concluimos que P^2 e N sao dois inteiros positivos que se dividem > mutuamente. Logo, sao iguais ==> N = P^2 eh um quadrado perfeito. > ------ > > Repare que provamos um pouco mais do que queriamos, a saber, que se N eh um > inteiro nao negativo e raiz(N) eh racional, entao raiz(N) eh inteiro. > > ****** > > Agora, fica mais facil resolver os problemas. > > Por exemplo, o segundo sai assim: > > p e q primos ==> > p*q nao eh quadrado perfeito (por que?) ==> > raiz(p*q) eh irracional (consequencia do resultado demonstrado acima) > > Suponha que a = raiz(p) + raiz(q) seja racional. > Entao a^2 = p + q + 2*raiz(p*q) eh racional ==> > (a^2 - p - q)/2 = raiz(p*q) eh racional ==> > contradicao ==> > a = raiz(p) + raiz(q) eh irracional. > > Um abraco, > Claudio. > > > > > > ----- Original Message ----- > > From: Hely Jr. > > To: [EMAIL PROTECTED] > > Sent: Thursday, April 03, 2003 10:58 PM > > Subject: [obm-l] Demonstra��es > > > > > > Alguem poderia me ajudar nestas demonstra��es > > > > 1) sabendo que sqrt(3) e sqrt(5) s�o irracionais, verifique que sqrt(3) + > > sqrt(5) � irracional. > > > > 2) sejam p> 0 e q>0 primos distintos. verifique que sqrt(p) + sqrt(q) � > > irracional > > > > 3) se p e q s�o inteiros positivos distintos e pelo menos um dos numeros > > sqrt(p) ou sqrt(q) � irracional, ent�o sqrt(p) + sqrt(q) � tb irracional. > > > > desde ja agrade�o > > > > ========================================================================= > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
