Caro Duda,
Isso segue de uma versao fraca do teorema de Bezout: se f(x,y) e g(x,y)
sao primos entre si (lembre que K[x,y] e' um dominio fatorial, i.e., vale
fatoracao unica, como em Z) entao o conjunto dos pontos (x,y) tais que
f(x,y)=0 e g(x,y)=0 e' finito. No seu caso, F(x,y) e P(x,y) sao primos entre
si (senao F divide P e P se anula em todos os pontos de C), e do mesmo modo
F(x,y) e Q(x,y) tambem sao primos entre si, donde F(x,y) e P(x,y).Q(x,y)
tambem sao primos entre si, donde o resultado segue pela nossa observacao
inicial DESDE QUE C SEJA INFINITO. Senao e' facil dar contra-exemplo em
R(x,y): Tome F(x,y)=(x(x-1))^2+y^2, P(x,y)=x, Q(x,y)=x-1.
Abracos,
Gugu
>
>Caros colegas da lista.
>
>Em um livro de �lgebra (Shafarevich) li a seguinte defini��o.
>
>Considere K um corpo qualquer (pode ser os reais R para facilitar), e seja
>F(x,y) um polin�mio em duas vari�veis com coeficientes em K. Seja C a curva
>dos pontos que anulam F, isto �, C = { (x,y) : F(x,y) = 0 }. Define-se,
>ent�o, o conjunto K(C) das fun��es polinomiais P(x,y) restritas ao dom�nio
>C. Esta defini��o pode n�o estar muito clara. Todo o polin�mio P(x,y) define
>uma fun��o polinomial P:R^2->R em todo R^2, agora restrinja o dom�nio de P
>ao conjunto C e considere o conjunto de todas as fun��es polinomiais
>restritas a esse conjunto.
>
>No livro, diziz que se F � um polin�mio irredut�vel, ent�o K(C) � um dom�nio
>de integridade. O que quer dizer isso? Que se F(x,y) � um polin�mio a duas
>vari�veis e C � o curva dos pontos onde F se anula ent�o n�o existem dois
>polin�mios P(x,y) e Q(x,y) tal que P(x,y)Q(x,y) se anula em todos os pontos
>de C apesar de nem P nem Q se anularem em todos os pontos de C.
>
>Um outro modo de ver o resultado. Chame raiz(L) = conjunto das ra�zes do
>polin�mio L de duas vari�veis. Se um polin�mio F � irredut�vel e seu
>conjunto de ra�zes � raiz(L), ent�o n�o existem dois polin�mios P e Q tais
>que raiz(P) < raiz(L) e raiz(Q) < raiz(L) apesar de raiz(P) U raiz(Q) >=
>raiz(L). (onde os sinais de desigualdade representam estritamente contido)
>
>Algu�m sabe demonstrar esse resultado ou me dar uma dica sobre ele?
>
>Obrigado pela aten��o.
>Duda.
>
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>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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