Oi Duda,
Para valer a igualdade e' preciso que K seja algebricamente fechado
(i.e., todo polinomio em K[x] tem raiz em K), como C (os complexos, nao a
sua curva; esse e' um resultado sobre intersecoes de curvas algebricas). Para
R nao vale, senao toda reta intersectaria todo circulo. Tambem e' preciso
contar os pontos com multiplicidade (definir multiplicidade de intersecao
nesse cas da' um certo trabalho...). A rigor esse assunto e' um dos primeiros
resultados de Geometria Algebrica.
Por outro lado, a desigualdade que diz que a intersecao de P=0 com Q=0
tem no maximo mn pontos vale em corpos mais gerais e e' mais facil de provar
(e e' suficiente para o seu problema). Veja por exemplo o livro de introducao
a algebra do Arnaldo Garcia e do Yves Lequain, publicado pelo Projeto
Euclides, do IMPA.
Abracos,
Gugu
>
>Oi Gugu.
>
>Obrigado pela sua resposta! Eu encontrei o seguinte enunciado.
>
>Teorema de Bezout. Se P(x,y) e Q(x,y) s�o primos entre si e tem graus n e m
>respectivamente ent�o o conjunto dos pontos (x,y) tal que P(x,y)=0 e
>Q(x,y)=0 possui nm pontos.
>
>Isto vale com P e Q pertencentes a K[x,y] para um corpo K qualquer? O
>teorema tamb�m vale em dimens�es finitas maiores do que dois? Qual o �rea da
>matem�tica que estuda esses resultados e a rela��o deles com as curvas
>alg�bricas C?
>
>Abra�o,
>Duda.
>
>From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <[EMAIL PROTECTED]>
>> Caro Duda,
>> Isso segue de uma versao fraca do teorema de Bezout: se f(x,y) e g(x,y)
>> sao primos entre si (lembre que K[x,y] e' um dominio fatorial, i.e., vale
>> fatoracao unica, como em Z) entao o conjunto dos pontos (x,y) tais que
>> f(x,y)=0 e g(x,y)=0 e' finito. No seu caso, F(x,y) e P(x,y) sao primos
>entre
>> si (senao F divide P e P se anula em todos os pontos de C), e do mesmo
>modo
>> F(x,y) e Q(x,y) tambem sao primos entre si, donde F(x,y) e P(x,y).Q(x,y)
>> tambem sao primos entre si, donde o resultado segue pela nossa observacao
>> inicial DESDE QUE C SEJA INFINITO. Senao e' facil dar contra-exemplo em
>> R(x,y): Tome F(x,y)=(x(x-1))^2+y^2, P(x,y)=x, Q(x,y)=x-1.
>> Abracos,
>> Gugu
>>
>> >
>> >Caros colegas da lista.
>> >
>> >Em um livro de �lgebra (Shafarevich) li a seguinte defini��o.
>> >
>> >Considere K um corpo qualquer (pode ser os reais R para facilitar), e
>seja
>> >F(x,y) um polin�mio em duas vari�veis com coeficientes em K. Seja C a
>curva
>> >dos pontos que anulam F, isto �, C = { (x,y) : F(x,y) = 0 }. Define-se,
>> >ent�o, o conjunto K(C) das fun��es polinomiais P(x,y) restritas ao
>dom�nio
>> >C. Esta defini��o pode n�o estar muito clara. Todo o polin�mio P(x,y)
>define
>> >uma fun��o polinomial P:R^2->R em todo R^2, agora restrinja o dom�nio de
>P
>> >ao conjunto C e considere o conjunto de todas as fun��es polinomiais
>> >restritas a esse conjunto.
>> >
>> >No livro, diziz que se F � um polin�mio irredut�vel, ent�o K(C) � um
>dom�nio
>> >de integridade. O que quer dizer isso? Que se F(x,y) � um polin�mio a
>duas
>> >vari�veis e C � o curva dos pontos onde F se anula ent�o n�o existem dois
>> >polin�mios P(x,y) e Q(x,y) tal que P(x,y)Q(x,y) se anula em todos os
>pontos
>> >de C apesar de nem P nem Q se anularem em todos os pontos de C.
>> >
>> >Um outro modo de ver o resultado. Chame raiz(L) = conjunto das ra�zes do
>> >polin�mio L de duas vari�veis. Se um polin�mio F � irredut�vel e seu
>> >conjunto de ra�zes � raiz(L), ent�o n�o existem dois polin�mios P e Q
>tais
>> >que raiz(P) < raiz(L) e raiz(Q) < raiz(L) apesar de raiz(P) U raiz(Q) >=
>> >raiz(L). (onde os sinais de desigualdade representam estritamente
>contido)
>> >
>> >Algu�m sabe demonstrar esse resultado ou me dar uma dica sobre ele?
>> >
>> >Obrigado pela aten��o.
>> >Duda.
>> >
>> >=========================================================================
>> >Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>>
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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