on 7/6/03 10:28 PM, Henrique Patr�cio Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote:
>> 1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh > comutativo. >> A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 = x + > y. >> Desenvolvendo, temos: >> x.x + x.y + y.x + y.y = x + y. >> x^2 + x.y + y.x + y^2 = x + y. >> Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a >> xy = -(yx) >> Mas isso nao significa que A eh comutativo. Onde errei? > > Olha, eu entendo tanto de corpos, an�is e similares quanto um bot�nico > entende de fus�o de metais a frio. Ent�o, se minha pergunta for muito > idiota, peguem leve... > N�o d� pra resolver x^2 = x e ver que os �nicos elementos desse anel s�o 0 e > 1? Claramente, a adi��o e multiplica��o a� s�o comutativas. Ser�? > > Abra�os, > Henrique. > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= Ola, Henrique, Valeu a tua boa vontade em ajudar! Apesar de voce nao entender de aneis, penso que voce vai entender poque nao eh possivel resolver a equacao como voce propos. Veja: Quando voce resolve x^2 = x, voce chega a x^2 - x = 0, e depois a x. (x - 1) = 0, concluindo que x = 0 ou x = 1. Ao resolver esta equacao no conjunto, por exemplo, dos inteiros (e que, alias, eh um ANEL), voce se baseou em dois fatos relativos a ESTE conjunto em particular, quais sejam: (i) que, para todo x inteiro, x.1 = 1.x = x. (Um anel onde isto eh valido eh chamado ANEL COM UNIDADE.) (ii) que, para todos x e y inteiros, se x.y = 0, entao x = 0 ou y = 0. (Um anel onde isto eh valido eh chamado de ANEL DE INTEGRIDADE.) O problema, Henrique, eh que existem conjuntos onde (i) e (ii) nao sao validos. Tome, por exemplo, o conjunto dos numeros pares, e voce verah que ele nao possui neutro para a multiplicacao (chamado elemento unidade). Agora tome o conjunto formado por pelos restos da divisao de qualquer inteiro por 6. Neste conjunto, o numero 14 seria designado por 2 (que eh o resto da divisao de 14 por 6) e o numero 15 seria designado por 3 (resto da divisao de 15 por 6). Se voce multiplicar 14 por 15 (ou seja, 2 por 3 no referido conjunto) voce vai obter 210, que divido por 6 deixa resto 0 (ou seja, no tal conjunto 2.3 = 0, no entanto, 2 nao eh igual a 0 nem 3 eh igual 0). Como, no problema, x eh uma elemento de uma anel qualquer, nao podemos resolver a equacao como voce propos. Ficou complicado? Eu fiz questao de escrever soh por causa da tua intencao de ajudar, mas se compliquei muito, me desculpa. Pro caso de voce querer saber mais, o livro "Introducao a Algebra", do Adilson Goncalves, pode ser util. Tambem o do Abramo Hefez, "Curso de Algebra". Os dois podem ser encontrados na pagina da SBM. Um abraco. Marcio Rocha. P.S. Como tem outro Marcio na lista, eu estou me acostumando a assinar Marcio Rocha, mas as vezes me esqueco. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
