on 15.09.03 22:20, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Ol� Pessoal! > > Estou resolvendo o livro do Elon de An�lise e h� um exerc�cio que n�o estou > conseguindo resolver. > > Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A. Considere uma fun��o > f:P(A)->P(A) que satisfaz as propriedades: se X est� contido em Y (ambos de > P(A)) ent�o F(Y) est� contido em F(X); e F(F(X)) = X. Mostrar que F(Uni�o > X_i) = Interse��o F(X_i) e tamb�m F(Interse��o X_i) = Uni�o F(X_i). > > Uma fun��o que satisfaz essas condi��es � F(X) = Complementar X. > Oi, Duda:
Sabemos que, para todo i: X_i estah contido em Uniao X_j e Interseccao X_j estah contido em X_i. Isso quer dizer que, para todo i: F(Uniao X_j) estah contido em F(X_i) e F(X_i) estah contido em F(Interseccao X_j). E portanto: F(Uniao X_j) estah contido em Interseccao F(X_j) (1) e Uniao F(X_j) estah contido em F(Interseccao X_j) (2) ***** Por outro lado, para todo i: F(X_i) estah contido em Uniao F(X_j) e Interseccao F(X_j) estah contido em F(X_i) Assim, para todo i: F(Uniao F(X_j)) estah contido em F(F(X_i)) = X_i e F(F(X_i)) = X_i estah contido em F(Interseccao F(X_j)) Logo: F(Uniao F(X_j)) estah contido em Interseccao X_j e Uniao X_j estah contido em F(Interseccao F(X_j)) E portanto: F(Interseccao X_j) estah contido em F(F(Uniao F(X_j))) e F(F(Interseccao F(X_j))) estah contido em F(Uniao X_j) E usando mais uma vez a propriedade F(F(X)) = X, teremos: F(Interseccao X_j) estah contido em Uniao F(X_j) (3) e Interseccao F(X_j) estah contido em F(Uniao X_j) (4) ***** Finalmente: (1) e (4) ==> F(Uniao X_j) = Interseccao F(X_j) (2) e (3) ==> F(Interseccao X_j) = Uniao F(X_j) Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
