on 15.09.03 22:20, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá Pessoal! > > Estou resolvendo o livro do Elon de Análise e há um exercício que não estou > conseguindo resolver. > > Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A. Considere uma função > f:P(A)->P(A) que satisfaz as propriedades: se X está contido em Y (ambos de > P(A)) então F(Y) está contido em F(X); e F(F(X)) = X. Mostrar que F(União > X_i) = Interseção F(X_i) e também F(Interseção X_i) = União F(X_i). > > Uma função que satisfaz essas condições é F(X) = Complementar X. > Oi, Duda:
Sabemos que, para todo i: X_i estah contido em Uniao X_j e Interseccao X_j estah contido em X_i. Isso quer dizer que, para todo i: F(Uniao X_j) estah contido em F(X_i) e F(X_i) estah contido em F(Interseccao X_j). E portanto: F(Uniao X_j) estah contido em Interseccao F(X_j) (1) e Uniao F(X_j) estah contido em F(Interseccao X_j) (2) ***** Por outro lado, para todo i: F(X_i) estah contido em Uniao F(X_j) e Interseccao F(X_j) estah contido em F(X_i) Assim, para todo i: F(Uniao F(X_j)) estah contido em F(F(X_i)) = X_i e F(F(X_i)) = X_i estah contido em F(Interseccao F(X_j)) Logo: F(Uniao F(X_j)) estah contido em Interseccao X_j e Uniao X_j estah contido em F(Interseccao F(X_j)) E portanto: F(Interseccao X_j) estah contido em F(F(Uniao F(X_j))) e F(F(Interseccao F(X_j))) estah contido em F(Uniao X_j) E usando mais uma vez a propriedade F(F(X)) = X, teremos: F(Interseccao X_j) estah contido em Uniao F(X_j) (3) e Interseccao F(X_j) estah contido em F(Uniao X_j) (4) ***** Finalmente: (1) e (4) ==> F(Uniao X_j) = Interseccao F(X_j) (2) e (3) ==> F(Interseccao X_j) = Uniao F(X_j) Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================