Oi Duda! Se X_1,... e X_n estao em P(A), entao cada X_i esta contido s em Uniao X_i. Pelas condicoes dadas, segue-se que F(Uniao X_i) estah contido em cada um dos F(X_i). Logo, F(Uniao X_i) estah contido em Interseccao F(X_i). Alem disto, temos que Interseccao F(X_i) esta contido em cada um dos F(x_i), o que acarreta que cada F(F(X_i)) = X_i esteja contido em F(Interseccao F(X_i)). Prosseguindo, temos que Uniao X_i esta contido em F(Interseccao F(X_i), o que implica que F(F(Interseccao F(X_i)) = Interseccao F(X_i) esteja contido em F(Uniao X_i), Assim concluimos que F(Uni�o X_i) = Interse��o F(X_i) --Ufa! .Interessante observar que isto eh valido mesmo para subcolecoes nao numeraveis de P(A).
Agora, temos que Interseccao X_i estah contido em cada X_i, de modo que cada F(X_i) estah contido em F(Interseccao X_i). Logo, Uniao F(X_i) esta contido em F(Interseccao X_i). Alem disto, cada F(X_i) estah contido em Uniao F(x_i), de modo que F(Uniao F(X_i)) esta contido em cada um dos F(F(X_i)) = X_i. Segue-se que F(Uniao F(X_i)) esta contido em Interseccao (X_i), do que concluimos que F(Interseccao X_i) esta contido em F(F(Uniao F(X_i))) = Uniao F(X_i). E assim, segue-se que F(Interse��o X_i) = Uni�o F(X_i), completando a prova. Verificamos de novo que isto eh valido mesmo para subcolecoes nao numeraveis de P(A). Das condicoes dadas segue-se que F eh bijetora. Sendo 0 o conjunto vazio, temos para todo X de P(A) que 0 estah contido em X e que, portanto, F(X) esta contido em F(0). Mas como F eh bijetora, para algum X temos F(X) = A, de modo que F(0) = A. Logo, F(A) = F(F(0)) = 0. Isto nao prova, mas desconfio que F eh a funcao complemento. Um abraco! Artur > Ol� Pessoal! > > Estou resolvendo o livro do Elon de An�lise e h� um exerc�cio que n�o > estou > conseguindo resolver. > > Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A. Considere uma fun��o > f:P(A)->P(A) que satisfaz as propriedades: se X est� contido em Y (ambos > de > P(A)) ent�o F(Y) est� contido em F(X); e F(F(X)) = X. Mostrar que F(Uni�o > X_i) = Interse��o F(X_i) e tamb�m F(Interse��o X_i) = Uni�o F(X_i). > > Uma fun��o que satisfaz essas condi��es � F(X) = Complementar X. >
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