Obrigad�o pela sua ajuda, Artur!
A quest�o n�o era complicada, falou - como diria o Dirichlet - eu levar tudo
at� as �ltimas conseq��ncias. Tive uma id�ia. Considere A = conjunto dos
n�meros reais e a fun��o F tal que F(X) = { - x, para todo x fora de X } = -
Complementar X. Se X est� contido em Y ent�o Complementar Y est� contido
Complementar X e tamb�m - Complementar X est� contido no - Complementar Y. �
claro que F(F(X)) = X.
Esta � uma fun��o diferente do complementar e que se enquadra nas
propriedades da quest�o.
Um abra�o,
Duda.
> From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]>
Oi Duda!
Se X_1,... e X_n estao em P(A), entao cada X_i esta contido s em Uniao X_i.
Pelas condicoes dadas, segue-se que F(Uniao X_i) estah contido em cada um
dos F(X_i). Logo, F(Uniao X_i) estah contido em Interseccao F(X_i). Alem
disto, temos que Interseccao F(X_i) esta contido em cada um dos F(x_i), o
que acarreta que cada F(F(X_i)) = X_i esteja contido em F(Interseccao
F(X_i)). Prosseguindo, temos que Uniao X_i esta contido em F(Interseccao
F(X_i), o que implica que F(F(Interseccao F(X_i)) = Interseccao F(X_i)
esteja contido em F(Uniao X_i), Assim concluimos que F(Uni�o
X_i) = Interse��o F(X_i) --Ufa! .Interessante observar que isto eh valido
mesmo para subcolecoes nao numeraveis de P(A).
Agora, temos que Interseccao X_i estah contido em cada X_i, de modo que cada
F(X_i) estah contido em F(Interseccao X_i). Logo, Uniao F(X_i) esta contido
em F(Interseccao X_i). Alem disto, cada F(X_i) estah contido em Uniao
F(x_i), de modo que F(Uniao F(X_i)) esta contido em cada um dos F(F(X_i)) =
X_i. Segue-se que F(Uniao F(X_i)) esta contido em Interseccao (X_i), do que
concluimos que F(Interseccao X_i) esta contido em F(F(Uniao F(X_i))) = Uniao
F(X_i). E assim, segue-se que F(Interse��o X_i) = Uni�o F(X_i), completando
a prova. Verificamos de novo que isto eh valido mesmo para subcolecoes nao
numeraveis de P(A).
Das condicoes dadas segue-se que F eh bijetora. Sendo 0 o conjunto vazio,
temos para todo X de P(A) que 0 estah contido em X e que, portanto, F(X)
esta contido em F(0). Mas como F eh bijetora, para algum X temos F(X) = A,
de modo que F(0) = A. Logo, F(A) = F(F(0)) = 0. Isto nao prova, mas
desconfio que F eh a funcao complemento.
Um abraco!
Artur
> Ol� Pessoal!
>
> Estou resolvendo o livro do Elon de An�lise e h� um exerc�cio que n�o
> estou
> conseguindo resolver.
>
> Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A. Considere uma fun��o
> f:P(A)->P(A) que satisfaz as propriedades: se X est� contido em Y (ambos
> de
> P(A)) ent�o F(Y) est� contido em F(X); e F(F(X)) = X. Mostrar que F(Uni�o
> X_i) = Interse��o F(X_i) e tamb�m F(Interse��o X_i) = Uni�o F(X_i).
>
> Uma fun��o que satisfaz essas condi��es � F(X) = Complementar X.
>
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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