É comum escrevermos "seja P um ponto sobre o lado" para indicar que o ponto
esteja no interior do segmento determinado pelos vértices.

Normalmente quando queremos nos referir a reta suporte do lado, dizemos
"sobre o lado ou seus prolongamentos" ou, sobre a reta AB.

No problema em questão, já que o aluno encontrou contra-exemplos, seria
natural repensar na interpretação adotada durante a prova.



Paulo
----- Original Message -----
From: "Fábio Dias Moreira" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, December 24, 2003 12:16 PM
Subject: Re: [obm-l] a obm esta certa????(respondam por favor)


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[Wednesday 24 December 2003 00:36: [EMAIL PROTECTED]
> caros amigos
>
> meu nome eh victor e eu participei da obm 2003. tive uma duvida no
problema
> 3, eu achei que minha solucao estava certa, discuti com os professores do
> colegio bandeirantes onde eu estudo e eles tambem acharam que ela estava
> certa, porem quando saiu o resultado da obm percebi que eles naum tinham
> considerado essa resolucao
>
> qual eh o erro ??? respondam por favor!!
>
> PROBLEMA 3:
> Seja ABCD um losango. Sejam E, F, G e H pontos sobre os lados AB, BC, CD e
> DA,
> respectivamente, e tais que as retas EF e GH são tangentes à
circunferência
> inscrita no losango.
> Prove que as retas EH e FG são paralelas.
>
> aqui vai um resumo da minha resolução se naum ficar claro por favor me
> respondam que eu mando ela como eu fiz na prova.
>
> Neste problema tentei criar duas situações em que seja impossível que em
> ambos os casos as retas EH e  FG sejam paralelas e que ao mesmo tempo
essas
> situações estejam de acordo com o enunciado dessa forma estaria
demonstrado
> que as retas EF e GH não são paralelas como propõe o enunciado.
> [...]

O enunciado não diz que as retas EF e GH tem que ser não-paralelas, nem pede
para demonstrar isso. Ele quer que você prove que EH e GF são paralelas
sempre que EF e GH tangenciarem a circunferência; analisar apenas dois casos
não basta.

> [...]
> Na situação 1, fixa-se o ponto E entre o ponto de tangencia da
> circunferência no lado AB e o vértice B.
> Dessa forma a reta EF só pode estar em uma posição (coincidindo com a reta
> que contém o lado AB, conseqüentemente F coincide com A)).
>
> Então, fixa-se o ponto h entre o ponto de tangencia da circunferência com
o
> lado DA e o vértice A  (próximo ao vértice A) dessa forma  o ponto g
> coincidira com a extremidade do lado DC (ponto D).
> [...]

Eu também notei que existiam "contraexemplos" durante a prova; parece que a
banca considerou, na expressão "sobre o lado AB", apenas o *interior* do
segmento de reta AB. Eu não sei se esta definição é comum (Nicolau, Morgado,
Barone, alguém sabe?), mas não gostei do enunciado desta questão devido a
esta
ambigüidade.

[]s,

- --
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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=5F8i
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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