Ontem a noite estava raciocinando sobre o problema citado, isto
�, dados n pontos no plano, p1=(x1,y1),p2=(x2,y2),...,pn=(x3,y3)
achar um ponto p cuja soma das dist�ncias aos
pontos dados seja m�nima.
Comecei a tentar uma soluc�o da seguinte forma:
Podemos sem perda de generalidade,
considerar que todas as dist�ncias consideradas s�o >= 1
(Porque se forem menores que 1 podemos aplicar
uma homotetia na figura e obter uma figura semelhante e ap�s achar
p=(x,y) aplicar a homotetia inversa).
Neste caso, seja d1 a distancia de p a p1, d2 a distancia de p a p2
e assim por diante. A quest�o que coloco �:
Temos que minimizar a func�o d(x,y) =
d1+d2+...+dn. Como as dist�ncias s�o
todas maiores que 1 minimizar d seria equivalente a minimizar
d*d = d1*d1 + d2*d2 +...+dn*dn ?
(estou no linux e n�o consigo o acento circunflexo..)
Se for fica f�cil resolver o problema, pois
a maior dificuldade na hora de calcular as derivadas parciais
em relac�o a x e y e resolver as equac�es resultantes, justamente
ocorre por causa das ra�zes quadradas no denominador.
Se a proposicao acima fosse verdadeira ent�o a soluc�o ficaria
f�cil e seria simplesmente a m�dia aritm�tica das coordenadas :
x = 1/n * somatorio(i=1 at� n){xi}
y = 1/n * somatorio (i=1 at� n){yi}
� claro (pelo que Nicolau falou) que isto est� errado,
provavelmente porque minha hip�tese tamb�m est�.
Mas seria poss�vel ir por esse caminho ?
[]s
Ronaldo L. Alonso
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