Re: [obm-l] f(x) e f'(x)

[Rafael]

Marcelo,   Pelo que pude entender do problema, voc� est� querendo demonstrar um caso particular do teorema das ra�zes m�ltiplas. Vou explic�-lo. O n�mero r, que pertence a C, � raiz de multiplicidade m, que pertence a N*, da equa��o F(x)=0 se, e somente se, F(x)=(x-r)^m*Q(x) e Q(r)<>0. Se V={r_1;r_2;r_3;...;r_p} � o conjunto-verdade da equa��o F(x)=a_0*x^n+a_1*x^(n-1)+a_2*x^(n-2)+...+a_(n-1)*x+a_n=0 e m_1, m_2, m_3, ..., m_p, respectivamente, � a multiplicidade de cada raiz, ent�o m_1+m_2+m_3+...+m_p=n  e  F(x)=a_0*(x-r_1)^(m_1)*(x-r_2)^(m_2)...(x-r_p)^(m_p).   TEOREMA: se r pertence aos reais e � raiz de multiplicidade m da equa��o F(x)=0, de coeficientes reais, ent�o r � raiz de multiplicidade m-1 da equa��o F'(x)=0.   DEMONSTRA��O:   Seja F(x)=(x-r)^m*Q(x), Q(r)<>0,   F'(x)=(x-r)^m*Q'(x)+m*(x-r)^(m-1)*Q(x) F'(x)=(x-r)^(k-1)[ ... ]   (c.q.d.)     E, talvez, voc� esteja se perguntando o qu�o isso � importante. A resposta � at� imediata, pois as ra�zes que encontramos para um polin�mio, ap�s a sua deriva��o, s�o exatamente as que possu�am multiplicidade dupla ou superior.   Eis um exemplo bastante simples:   2 � raiz dupla do polin�mio F, sendo F(x) = 3*(x-2)^2 = 3x^2 - 12x + 12. Mas F'(x) = 6x - 12 e F''(x) = 6.   Logo, voc� pode observar que, para a derivada primeira, F'(x), a raiz passa a ser simples. E, posteriormente, em F''(x), j� n�o � mais raiz.   Espero ter ajudado.     Abra�os,   Rafael de A. Sampaio        ----- Original Message ----- From: Marcelo Souza To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 05, 2004 1:20 AM Subject: [obm-l] f(x) e f'(x) Suponha p um polinomio de quinto grau em x. Como demonstro que se toda raiz de p(x) � real, entaum p'(x) tem 4 raizes reias (e p''(x) tem 3 raizes reais...)   []'s, M.