On Wed, Feb 11, 2004 at 06:07:30PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: > Parece-me fundamental que se saiba que a razao historica do aparecimento dos > complexos foi mesmo a tentaiva de achar sqrt(-1),
Uma das principais raz�es hist�ricas para que se considerassem n�meros complexos foi a resolu��o de uma equa��o como x^3 + px + q = 0. Vou contar a hist�ria como eu contaria para um aluno de ensino m�dio. Bem, pensando bem, muitos de voc�s *s�o* alunos de ensino m�dio, n�o � mesmo? :-) Considere a equa��o z^2 + b z + c = 0, com ra�zes z1 e z2. Sabemos que z1+z2 = -b e que z1z2 = c. J� vimos tamb�m como obter f�rmulas para z1^2+z2^2 e outras express�es sim�tricas envolvendo z1 e z2. Quanto vale S = cbrt(z1) + cbrt(z2) (onde cbrt significa raiz c�bica)? Bem, temos S^3 = z1 + 3 cbrt(z1)^2 cbrt(z2) + 3 cbrt(z1) cbrt(z2)^2 + z2 ou S^3 = (z1 + z2) + 3 cbrt(z1z2) (cbrt(z1) + cbrt(z2)) ou S^3 = -b + 3 cbrt(c) S. Assim S � uma das ra�zes da equa��o x^3 - 3 cbrt(c) x + b = 0. Portanto, para resolver a equa��o x^3 + px + q = 0, tome b = q e c = -p^3/27. Resolva a equa��o z^2 + b z + c = 0, encontrando ra�zes z1 e z2. A solu��o para a sua equa��o original � x = cbrt(z1) + cbrt(z2). Vamos fazer um exemplo. Resolva x^3 + 3x + 1 = 0. Temos b = 1 e c = -1. Assim a equa��o auxiliar � z^2 + z - 1 = 0 que tem ra�zes z1 = (-1+sqrt(5))/2 ~= 0.6180339880 e z2 = (-1-sqrt(5))/2 ~= -1.618033988. De acordo com o que n�s vimos acima a raiz da equa��o original deve ser x = cbrt(z1) + cbrt(z2) ~= -0.3221853553. Se voc� substituir este valor num�rico na equa��o original vai ver que d� certo. Se voc� substituir a f�rmula exata para x (envolvendo ra�zes quadradas e c�bicas) vai ter um pouco de trabalho para simplificar mas se fizer tudo direito vai ver que tamb�m d� certo. Muito bem. Vamos fazer outro exemplo. Resolva x^3 - 3x + 1. Seguindo a mesma receita, temos b = c = 1 e a equa��o auxiliar � z^2 + z + 1 = 0 que n�o tem nenhuma raiz real. Voc� poderia pensar que isto indica que a equa��o original (em x) tamb�m n�o tem nenhuma raiz real, mas isto � falso: tomando f(x) = x^3 - 3x + 1 temos f(-2) = -1, f(-1) = 3, f(1) = -1, f(2) = 3 donde h� claramente pelo menos tr�s ra�zes reais, uma entre -2 e -1, uma entre -1 e 1, uma entre 1 e 2. Bem, na verdade h� exatamente tr�s ra�zes reais, como um gr�fico indica e como um pouco mais de �lgebra demonstra. Pq ent�o nosso m�todo deu errado? Bem, que tal n�s deixarmos indicadas as ra�zes quadradas de n�meros negativos quando elas aparecerem? Talvez elas se cancelem no final! Se toparmos, as ra�zes da equa��o auxiliar ficam sendo z1 = (-1+sqrt(-3))/2 ~= - 0.5 + 0.8660254040 sqrt(-1) e z2 = (-1-sqrt(-3))/2 ~= - 0.5 - 0.8660254040 sqrt(-1). Precisamos agora calcular as ra�zes c�bicas destas coisas. O que fazer? Hora para um pouco de m�gica. Escreva z = cos t + sen t sqrt(-1) e calcule z^3. D� z^3 = (cos^3 t - 3 cos t sen^2 t) + (3 cos^2 t sen t - sen^3 t) sqrt(-1); para fazer esta conta s� precisamos aceitar a presen�a de sqrt(-1) e do fato tautol�gico que (sqrt(-1))^2 = -1. Um pouco de trigonometria nos revela que cos^3 t - 3 cos t sen^2 t = cos 3t e 3 cos^2 t sen t - sen^3 t = sen 3t donde z^3 = cos 3t + sen 3t sqrt(-1). Bem, nosso z1 pode ser escrito como z1 = cos(120 graus) + sen(120 graus) sqrt(-1) donde temos (pelo menos) tr�s ra�zes c�bicas para z1: w11 = cos(40 graus) + sen(40 graus) sqrt(-1), w12 = cos(160 graus) + sen(160 graus) sqrt(-1), w13 = cos(280 graus) + sen(280 graus) sqrt(-1). Analogamente, temos tr�s ra�zes c�bicas para z2: w21 = cos(40 graus) - sen(40 graus) sqrt(-1), w22 = cos(160 graus) - sen(160 graus) sqrt(-1), w23 = cos(280 graus) - sen(280 graus) sqrt(-1). Ser� que isso nos d� nove ra�zes para a equa��o original? Voltando podemos conferir que devemos ter cbrt(z1)*cbrt(z2) = 1, o que s� d� certo se casarmos as ra�zes da forma certa: w11 com w21, w12 com w22 e w13 com w23. Somando desta maneira, obtemos tr�s ra�zes para a equa��o original: x1 = 2 cos(40 graus), x2 = 2 cos(160 graus) e x3 = 2 cos(280 graus). As ra�zes quadradas de n�meros negativos sumiram, como esper�vamos. Podemos calcular os valores num�ricos e substituir: d� certo. Podemos at� verificar com um pouco de trigonometria que est� exatamente certo. Assim obtivemos tr�s ra�zes "de verdade" (reais) usando no meio das contas uns n�meros "imagin�rios". Agora s� precisamos perder a vergonha de falar de sqrt(-1) e dar um nome curtinho, como i, pode ajudar. Eu acho que � *isto* que deveria ser feito para apresentar n�meros complexos no ensino m�dio. N�o depende de nada que um aluno de ensino m�dio n�o tenha estudado. O fato de juntar �lgebra e trigonometria � uma grande vantagem, a meu ver. N�o precisamos dizer aquela frase horr�vel, �s vezes necess�ria mas que raramente motiva o aluno: "estude isso pq mais tarde voc� vai ver que � muito importante". E ainda ensinamos a resolver a equa��o de grau 3. Depois disso viriam exemplos de como resolver problemas de geometria plana usando n�meros complexos. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
