on 05.03.04 22:52, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > On Fri, Mar 05, 2004 at 07:09:05PM -0300, Henrique Patrício Sant'Anna Branco > wrote: >>> A sutileza é que A e B seriam conexos mas não são conexos por caminhos. >>> Cada um deles parece uma nuvem de pontos e as componentes conexas >>> por caminhos de A e B são pontos. As nuvens são conexas pq qualquer >>> função contínua não constante g: R -> [0,1]^2 encontra tanto com A >>> quanto com B então é impossível fazer uma cisão de A ou B. >> >> Nicolau (ou quem souber responder), >> >> Sei o que é um conjunto conexo por caminhos, mas não sei o que seria um >> conjunto (apenas) conexo. >> A (união) B, no caso, conteria dois pontos que não pudessem ser ligados por >> poligonais? Isso seria um conjunto conexo? > > Um conjunto A contido em R^2 é conexo se *não* existirem abertos > disjuntos X1 e X2 em R^2 tais que A está contido em X1 U X2 > mas A não está contido nem em X1 nem em X2. > > []s, N. > Um exemplo interessante de conjunto conexo que eu vi foi o seguinte:
Sejam: A = { (0,y) | -1 <= y <= 1 } = intervalo [-1,1] no eixo y e B = { (x,sen(1/x)) | 0 < x <= 1} = grafico da funcao sen(1/x) restrita ao intervalo (0,1]. Entao A uniao B eh conexo (apesar de A e B nao se "tocarem", ou seja A uniao B nao eh conexo por caminhos) Qualquer aberto contendo A vai ter que conter algum ponto (x,y) com x > 0 e -1 <= y <= 1. Logo, vai intersectar o grafico de sen(1/x) em algum ponto perto do eixo y. Por outro lado, tente achar uma curva continua (nao precisa nem ser poligonal) que liga algum ponto de A a um ponto de B... **** Esse exemplo pode ser adaptado para se construir um exemplo de conjuntos conexos A e B tais que A e B sao disjuntos, A contem pontos e dois lados opostos de um quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================