Thor, Vamos supor, espero que sem perder a generalidade, como é costume dizer, que o hexágono regular de que estamos tratando está no plano de Argand-Gauss. Cada um dos vértices do hexágono é raiz de uma equação de sexto grau. Todas as raízes terão mesmo módulo (distância da origem até o ponto) e corresponderão à rotação de 360°/6 = 60° da raiz que a precede. Portanto, o número de elementos de V é o de pares formados escolhendo-se dois números complexos entre os seis. Veja que a ordem em que esses números são escolhidos importa, pois o par (P;Q) é diferente do par (Q;P). Dessa forma, teremos os arranjos dos seis números tomados dois a dois, 6!/4! = 30. Não é difícil contá-los, veja:
Seja P1, P2, P3, P4, P5, P6 os vértices do hexágono regular, teremos: (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6), (P2,P1),(P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6), (P3;P1),(P3;P2),(P3;P4),(P3;P5),(P3;P6), (P4;P1),(P4;P2),(P4;P3),(P4;P5),(P4;P6), (P5;P1),(P5;P2),(P5;P3),(P5;P4),(P5;P6), (P6;P1),(P6;P2),(P6;P3),(P6;P4),(P6,P5) Dessa forma, n(V) = 30. Porém, apesar de existirem 30 pares, não existem 30 distâncias diferentes. Observe que a distância, por exemplo, de P1 a P2 é a mesma de P2 a P1. Descontando esses pares que têm vértices permutados serão C(6,2) = 6!/(4!2!) = 15 distâncias até agora. Exemplificando: (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6), (P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6),(P3;P4), (P3;P5),(P3;P6),(P4;P5),(P4;P6),(P5;P6), Voltando a pensar no plano de Argand-Gauss, cada par é um afixo no plano e há uma circunferência que contém os seis afixos. A distância entre dois afixos consecutivos (lado do hexágono) é a mesma, pois trata-se de um hexágono regular. Descontando-se esses afixos consecutivos, ficaremos com 11 distâncias distintas: (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),(P2;P4), (P2;P5),(P2;P6),(P3;P5),(P3;P6),(P4;P6) Analogamente, (P1;P3) possuirá, por exemplo, a mesma distância de (P2;P4), pois cada par possui simetria em relação a outro se o outro possuir pontos simétricos em relação aos do primeiro. Note que tudo isso é válido principalmente por se tratar de um hexágono regular. Isso ocorre também, por exemplo, para (P1;P4) e (P2;P5). Eliminando os pares simétricos que, assim, possuem a mesma distância, vêm: (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6) E isso faz sentido. As distâncias distintas, num hexágono regular, são as obtidas tomando-se um dos pontos (no caso, P1) e cada um dos outros. Dessa forma, n[Im(f)] = 5. É um problema bem legal! ;-) Abraços, Rafael de A. Sampaio ----- Original Message ----- From: Thor To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 06, 2004 4:00 PM Subject: [obm-l] Duvidas (Funções) Sejam V = {( P;Q) | P e Q são vértices distintos de um hexágono regular} e f uma função que associa a cada par (P;Q) de V a distância de P a Q. O número de elementos do conjunto imagem de f é? Agradeço desde de já. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================