A resposta é 3. 15 = 13 e 12 = 16 ============================================================== Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online
---------- Original Message ----------- From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> To: "OBM-L" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sat, 6 Mar 2004 22:13:08 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Duvidas (Funções) > Thor, > > Vamos supor, espero que sem perder a generalidade, como é costume > dizer, que o hexágono regular de que estamos tratando está no plano > de Argand-Gauss. Cada um dos vértices do hexágono é raiz de uma > equação de sexto grau. Todas as raízes terão mesmo módulo (distância > da origem até o ponto) e corresponderão à rotação de 360°/6 = 60° da > raiz que a precede. Portanto, o número de elementos de V é o de > pares formados escolhendo-se dois números complexos entre os seis. > Veja que a ordem em que esses números são escolhidos importa, pois o > par (P;Q) é diferente do par (Q;P). Dessa forma, teremos os arranjos > dos seis números tomados dois a dois, 6!/4! = 30. Não é difícil > contá-los, veja: > > Seja P1, P2, P3, P4, P5, P6 os vértices do hexágono regular, teremos: > > (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6), > (P2,P1),(P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6), > (P3;P1),(P3;P2),(P3;P4),(P3;P5),(P3;P6), > (P4;P1),(P4;P2),(P4;P3),(P4;P5),(P4;P6), > (P5;P1),(P5;P2),(P5;P3),(P5;P4),(P5;P6), > (P6;P1),(P6;P2),(P6;P3),(P6;P4),(P6,P5) > > Dessa forma, n(V) = 30. > > Porém, apesar de existirem 30 pares, não existem 30 distâncias diferentes. > Observe que a distância, por exemplo, de P1 a P2 é a mesma de P2 a > P1. Descontando esses pares que têm vértices permutados serão C(6,2) > = 6!/(4!2!) = 15 distâncias até agora. Exemplificando: > > (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6), > (P2,P3),(P2;P4),(P2;P5),(P2;P6),(P3;P4), > (P3;P5),(P3;P6),(P4;P5),(P4;P6),(P5;P6), > > Voltando a pensar no plano de Argand-Gauss, cada par é um afixo no > plano e há uma circunferência que contém os seis afixos. A distância > entre dois afixos consecutivos (lado do hexágono) é a mesma, pois > trata-se de um hexágono regular. Descontando-se esses afixos > consecutivos, ficaremos com 11 distâncias distintas: > > (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6),(P2;P4), > (P2;P5),(P2;P6),(P3;P5),(P3;P6),(P4;P6) > > Analogamente, (P1;P3) possuirá, por exemplo, a mesma distância de > (P2;P4), pois cada par possui simetria em relação a outro se o outro > possuir pontos simétricos em relação aos do primeiro. Note que tudo > isso é válido principalmente por se tratar de um hexágono regular. > Isso ocorre também, por exemplo, para (P1;P4) e (P2;P5). Eliminando > os pares simétricos que, assim, possuem a mesma distância, vêm: > > (P1;P2),(P1;P3),(P1;P4),(P1;P5),(P1;P6) > > E isso faz sentido. As distâncias distintas, num hexágono regular, > são as obtidas tomando-se um dos pontos (no caso, P1) e cada um dos outros. > > Dessa forma, n[Im(f)] = 5. > > É um problema bem legal! ;-) > > Abraços, > > Rafael de A. Sampaio > > ----- Original Message ----- > From: Thor > To: [EMAIL PROTECTED] > Sent: Saturday, March 06, 2004 4:00 PM > Subject: [obm-l] Duvidas (Funções) > > Sejam V = {( P;Q) | P e Q são vértices distintos de um hexágono > regular} e f uma função que associa a cada par (P;Q) de V a > distância de P a Q. O número de elementos do conjunto imagem de f é? > > Agradeço desde de já. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ------- End of Original Message ------- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================