Oi, pessoal: O Max mandou ontem pra lista o problema de se provar que o determinante de uma matriz anti-sim�trica com coeficientes inteiros � sempre um quadrado perfeito.
Eu tenho quase certeza de que h� uma demonstra��o combinat�ria disso (por favor me ajude, Nicolau!) mas como n�o consegui imaginar nenhuma, aqui vai minha tentativa - incompleta - por �lgebra, mesmo... Seja A anti-sim�trica. Ent�o, por defini��o, A^t = -A (A^t = transposta de A). Suponhamos tamb�m que A tenha ordem n. Inicialmente, temos que: det(A) = det(A^t) = det(-A) = (-1)^n*det(A). Assim, se n � �mpar, conclu�mos que det(A) = 0, que � trivialmente um quadrado perfeito. Suponhamos, agora, que n seja par. Seja x um autovetor de A, associado ao autovalor k. Ent�o, tomando o produto interno de x e Ax, teremos: <x,Ax> = <(A^t)x,x> = <-Ax,x> ==> <x,kx> = <-kx,x> ==> conjugado(k)<x,x> = -k<x,x>. Como x eh autovetor, x <> 0 e, portanto, <x,x> > 0. Assim, teremos: -k = conjugado(k) ==> k = i*a, onde a � real. Al�m disso, como o polin�mio caracter�stico de A � m�nico e tem coeficientes inteiros, podemos concluir que: -i*a tamb�m � raiz e i*a e -i*a s�o inteiros alg�bricos ==> Isso quer dizer que o polin�mio caracter�stico de A pode ser fatorado assim: p(x) = (x^2 + a^2)*(x^2 + b^2)*...*(x^2 + g^2), onde i*a, i*b, ..., i*g s�o inteiros alg�bricos, n�o necessariamente distintos dois a dois. Pelas rela��es de Girard, como os coeficientes de p(x) s�o todos inteiros, podemos tamb�m concluir os valores de todos os polin�mios sim�tricos em i*a, -i*a, i*b, -i*b, ..., i*g, -i*g s�o inteiros e, mais ainda, os de ordem impar sao iguais a zero. Em particular: det(A) = p(0) = a^2*b^2*....*g^2 = (a*b*...*g)^2 � inteiro e positivo (pois a, b, ..., g s�o reais). Isso quer dizer que |a*b*...*g| = raiz(m), onde m � um inteiro positivo. Resta provar que m � quadrado perfeito, coisa que, infelizmente, eu nao consegui... Nao preciso nem dizer que qualquer ajuda serah bem vinda. []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
