Bom, eu tenho tentado tirar alguma conclusão através da definição de determinante a partir de permutações...
já vou avisando que a mensagem é um pouco longa e eu não cheguei na resposta, mas talvez seja interessante dar uma lida, a idéia parece ser boa. se X é n x n, então det(X) = somatório{f permutação} sign(f)*[produtório{i=1..n} X(i, f(i))] onde sign(f) é 1 se a permutação é par ou -1 se ela é ímpar... bom, eu não lembrava muito dessas coisas sobre permutações então encontrei uma referência legal: http://www.maths.lancs.ac.uk/dept/coursenotes/m225ril99/chapter5/chap5/node3.html pra quem está enferrujado e não lembra o que é um ciclo: http://www.maths.lancs.ac.uk/dept/coursenotes/m225ril99/chapter5/chap5/node2.html Ok, agora vamos ao fato que eu quero chegar: p é uma permutação Defina I(p) := {conjunto dos ciclos de comprimento ímpar de p} P(p) := {conjunto dos ciclos de comprimento par de p} p^(-1) := inversa de p, ou seja p^(-1)(p(i)) = i para todo i Considere a relação ~ entre permutações, definida a seguir p ~ q <=> [P(p) = P(q) e c está em I(p) <=> c ou c^(-1) está em I(q)] ou seja, definimos que duas permutações estão relacionadas se seus ciclos pares são iguais e se os ciclos ímpares são iguais ou inversos. dá pra ver que p ~ p, p ~ q => q ~ p e p ~ q, q ~ u => p ~ u, ou seja ~ é uma relação de equivalência. podemos então particionar o conjunto de permutações utilizando a relação ~. algumas observações: há classes solitárias, representadas por permutações que só tem permutações pares e portanto só possuem um elemento. numa mesma classe o sinal de cada permutação é o mesmo já que o que importa é o tamanho dos ciclos e estes são iguais dentro da classe. ok, agora a parte legal, uma classe não solitária colabora com 0 na soma do determinante de uma matriz anti-simétrica. para ver isso tome p um representante de uma classe C não solitária, ou seja, p tem k > 0 ciclos de tamanho ímpar. Defina Prod(f) := [produtório{i=1..n} X(i, f(i))] somatório{f permutação, f ~ p} sign(f)*Prod(f) = sign(p) * somatório{f permutação, f ~ p} Prod(f) note que, como p tem k ciclos ímpares, podemos obter todas as permutações equivalentes a p invertendo esses ciclos. ao inverter um ciclo ímpar, por exemplo (a_1 a_2 ... a_{2m+1}), temos (a_{2m+1} a_{2m-1} ... a_2 a_1). como X é anti-simétrica A(a_i, a_{i+1}) = -A(a_{i+1}, a_i). se p possui um ponto fixo então há um ciclo de tamanho 1, toda permutação f equivalente a p tem Prod(f) = 0 e não há nada para provar. quando invertemos exatamente um ciclo (ímpar) de p para obter uma permutação f, |Prod(f)| permanece o mesmo, mas o sinal é trocado (estamos trocando o sinal de um número ímpar de fatores do produtório), ou seja Prod(f) = -Prod(p). dessa forma se invertermos um número ímpar de ciclos ímpares de p obtemos -Prod(p), se invertermos um número par de ciclos ímpares de p obtemos Prod(p). podemos inverter um número ímpar de ciclos ímpares de Binomial[k, 1] + Binomial[k, 3] + Binomial[k, 5] + ... maneiras, e um nr. par de ciclos ímpares de Binomial[k, 0] + Binomial[k, 2] + Binomial[k, 4] + ... maneiras. sabemos que Binomial[k-1, i] + Binomial[k-1, i+1] = Binomial[k, i+1]. logo, Binomial[k, 1] + Binomial[k, 3] + Binomial[k, 5] + ... = (Binomial[k-1, 0] + Binomial[k-1, 1]) + (Binomial[k-1, 1] + Binomial[k-1, 2]) + ... = 2^(k-1), logo Binomial[k, 0] + Binomial[k, 2] + Binomial[k, 4] + ... = 2^(k-1) isso nos diz que o número de termos Prod(p) na soma das permutações da classe C é 2^(k-1) e o número de termos -Prod(p) também é 2^(k-1) e então a soma final é 0. para calcular o determinante podemos restringir a soma de Prod(f) onde f só possui ciclos de tamanho par, será que isso ajuda no problema? [ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================