Sauda,c~oes, Oi Claudio,
Achei esse problema muito interessante (se n=2k) e coloquei-o no Manual de Indu��o. A prova l� s� n�o est� completa pois uso um teorema devido a Jacobi que n�o est� demonstrado. Mas o tal teorema � um resultado b�sico da teoria de det. No livro dou um exemplo para n=6. Para n=2,4 a express�o do det. pode ser obtida explicitamente (ver o Manual). []'s Luis -----Mensagem Original----- De: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> Para: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: segunda-feira, 22 de mar�o de 2004 21:17 Assunto: [obm-l] Determinante Anti-Sim�trico > Oi, pessoal: > > O Max mandou ontem pra lista o problema de se provar que o determinante de > uma matriz anti-sim�trica com coeficientes inteiros � sempre um quadrado > perfeito. > > Eu tenho quase certeza de que h� uma demonstra��o combinat�ria disso (por > favor me ajude, Nicolau!) mas como n�o consegui imaginar nenhuma, aqui vai > minha tentativa - incompleta - por �lgebra, mesmo... > > Seja A anti-sim�trica. > Ent�o, por defini��o, A^t = -A (A^t = transposta de A). > Suponhamos tamb�m que A tenha ordem n. > > Inicialmente, temos que: > det(A) = det(A^t) = det(-A) = (-1)^n*det(A). > > Assim, se n � �mpar, conclu�mos que det(A) = 0, que � trivialmente um > quadrado perfeito. > > Suponhamos, agora, que n seja par. > [corte] > Pelas rela��es de Girard, como os coeficientes de p(x) s�o todos inteiros, > podemos tamb�m concluir os valores de todos os polin�mios sim�tricos em i*a, > -i*a, i*b, -i*b, ..., i*g, -i*g s�o inteiros e, mais ainda, os de ordem > impar sao iguais a zero. > > Em particular: > det(A) = p(0) = a^2*b^2*....*g^2 = (a*b*...*g)^2 � inteiro e positivo (pois > a, b, ..., g s�o reais). > > Isso quer dizer que |a*b*...*g| = raiz(m), onde m � um inteiro positivo. > > Resta provar que m � quadrado perfeito, coisa que, infelizmente, eu nao > consegui... > > Nao preciso nem dizer que qualquer ajuda serah bem vinda. > > > []s, > Claudio. > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
