Seja f(x) = x^2 - 10x + 1, cujas raizes sao 5+2*raiz(6) e 5-2*raiz(6).
Logo, f(x) eh irredutivel sobre Q(raiz(2)).
No entanto, considere g(x) = f(x^2) = x^4 - 10x^2 + 1.
Temos que g(x) = (x^2 - 2*raiz(2)*x - 1)*(x^2 + 2*raiz(2)*x - 1)
Ou seja, g(x) = f(x^2) eh redutivel sobre Q(raiz(2))
Eu ainda nao consegui achar um contra-exemplo com Q, mas jah nao estou tao certo de que nao ha nenhum...
De qualquer jeito, estou desconfiado de que ha um teorema escondido em algum lugar.
[]s,
Claudio.
on 31.03.04 14:20, Cl�udio (Pr�tica) at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eu formulei mal a minha d�vida abaixo, pois � claro que existem casos mais ou menos �bvios onde o resultado n�o � verdade. Por exemplo, f(x) = x - a^k, com a em F e k > 1 ==> f(x^m) ser� redut�vel se mdc(m,k) > 1.
A d�vida surgiu ao tentar calcular o polin�mio m�nimo de (2^(1/3) - i)^(1/2):
x = (2^(1/3) - i)^(1/2) ==>
x^2 + i = 2^(1/3) ==>
x^6 + 3ix^4 - 3x^2 - i = 2 ==>
(x^6 - 3x^2 - 2)^2 = -(1 - 3x^4)^2 ==>
x^12 + 3x^8 - 4x^6 + 3x^4 + 12x^2 + 5 = 0
Olhando essa equa��o em Z_3, obtemos:
x^12 + 2x^6 + 2 = 0.
Foi a� que surgiu a d�vida, pois f(x) = x^2 + 2x + 2 � irredut�vel sobre Z_3.
A partir disso, podemos concluir que f(x^6) = x^12 + 2x^6 + 2 tamb�m �?
[]s,
Claudio.
----- Original Message -----
From: Cl�udio (Pr�tica) <mailto:[EMAIL PROTECTED]>
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, March 31, 2004 12:34 PM
Subject: [obm-l] Polin�mio Irredut�vel
Oi, pessoal:
Tenho a seguinte d�vida:
Se F � um corpo e f(x) � um polin�mio irredut�vel sobre F, ent�o � verdade que, para cada inteiro positivo n, o polin�mio g(x) = f(x^n) tamb�m � irredut�vel sobre F?
Se for verdade, isso vale pra qualquer corpo?
Agrade�o qualquer ajuda.
[]s,
Claudio.
