� elementar que: "o limite da raz�o entre dois infinit�simos (fun��es que tendem a zero) n�o se altera se os membros forem substitu�dos por infinit�simos equivalentes" (por exemplo, ver Problemas e Exerc�cios de An�lise Matem�tica - Demidovicth, da MIR, p�gina 34). Desse modo, o quociente procurado, nas proximidades de 0, � equivalente a:
(xcosx - x)/x^3, o qual, por sua vez, � igual a x(cosx - 1)/x^3, que � igual a {2[sen(x/2)]^2}/x^2. Finalmente, a �ltima raz�o pode ser vista como (1/2){[sen(x/2)/(x/2)]^2, cujo limite, quando x tende a zero, � igual a 1/2 (limite procurado, de acordo com o teorema acima).
Espero ter contribu�do com algum racioc�nio,
M�rcio.
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RE: [obm-l] Um limite meio chato
Date: Tue, 6 Apr 2004 21:13:10 -0300 (ART)
CONSEGUI!!
Essa e muito legal!Vou deixar um rascunho no fim da mensagem para nao atrapalhar quem ainda nao fez...Talvez o Gugu tente essa, e meio no estilo dele....Tem muita conta mas e bem divertido.
PS.:SEM USAR DERIVADA, NEM L'HOSPITAL-BERNOULLI, NEM NADA DISSO!!
" f(x)= (x*cos (x) -sen (x))/(x^3)
Determine lim f(x) se x tende a zero."
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Ta.Ai o que temos?
sen (x + arctg(-x)), vai dar algo como infinito vezes zero.Nao entendi essa...
Qwert Smith <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Ki tal reescrever como sqrt[ 1/(x^6) + 1/(x^4)]*sen(x + arctg(-x))?
>From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet >
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: [obm-l] Um limite meio chato
>Date: Wed, 31 Mar 2004 16:11:08 -0300 (ART)
>
>Ola pessoal!!!
>Certa feita fui desafiado a dizer o limite desta expressao quando x tende a
>zero:
>
>sen x/x^3- cosx/x^2.
>
>Pequeno detalhe: na epoca usei L'Hopital-Bernoulli mas ai nao tinha
>gra�a...
>Agora eu queria que ces me ajudassem nesse sentido:demonstrar
>elementarmente essa coisinha.Ai pensei em usar serie de Taylor e consegui
>resolver, mas ainda e complicado (nada que toque em derivadas nem muito
>alem!!!!).
>Mas ai me veio uma ideia: que! tal adaptar Taylor?Assim:provar que
>x-x^3/3!+x^5/5! e a melhor aproxima�ao de um polinomio de grau 5 de sen x e
>depois algo parecido com xcos x, e demonstrar tudo a prtir dai...
>Captaram?E entao, alguma ajuda?
>
>Ass.:Johann
>
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Para baixo....
Mais um pouco
Pra so um bocadinho....
agora foi!
Bem, escrevi assim:
f(x)=(x*cos(x)-sen(x))/x^3
Tente escrever f(2x) em fun�ao de f(x) e mais uns trambolhos que tendem a algo que ce nao sabe
Primeiro calculamos lim (x->0) ((x-senx)/(x^3)) ( pois e , isso aparece sim!) .Veja que se substituirmos x por 3x, podemos abrir tudo e escrever como f(x) mais algo que tende a 1 vezes uma constante facil de determinar (bem, use o fato dde que sen 3x= 3 sen x - 4 (sen x)^3 ou algo parecido.... )
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