on 01.04.04 02:19, Ricardo Bittencourt at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Claudio Buffara wrote: >> Voce estah dizendo que, se eu quiser aproximar sen(x) em algum intervalo >> pequeno em torno de x = 0 por meio de um polinomio de grau 5, digamos, uma >> interpolacao usando minimos quadrados vai resultar no polinomio: >> p(x) = x - x^3/6 + x^5/120 ? >> Me desculpe, mas eu acho dificil de acreditar. > > Fiz o teste no matlab. Os resultados n�o foram exatos, > mas eu n�o sei dizer se � erro de aproxima��o do programa > ou se o polin�mio � aproximado mesmo. Polyfit no matlab implementa > os m�nimos quadrados: > >>> xx=-1e-2:1e-6:1e-2;
Eu nao conheco o Matlab. Isso quer dizer que voce criou uma "amostra" de 20001 vetores (xx,sen(xx)) com xx variando de -1/100 a 1/100 em intervalos de 1/10^6? >>> yy=sin(xx); >>> polyfit(xx,yy,3) > > ans = > > -0.1667 0.0000 1.0000 -0.0000 > >>> polyfit(xx,yy,5) > > ans = > > 0.0083 -0.0000 -0.1667 0.0000 1.0000 0.0000 > Entao, deixe-me reformular: Ao fazer a aproximacao de sen(x) por um polinomio de grau m no intervalo [-a,a] (a > 0) via minimos quadrados, a partir de uma amostra de n pontos igualmente espacados, o que eu acho que acontece eh o seguinte: quando n -> infinito, os coeficientes do polinomio tendem aos coeficientes correspondentes dos termos de grau <= m da serie de Taylor de sen(x) em torno de x = 0. Alias, acho que isso vale pra qualquer funcao infinitamente diferenciavel e nao apenas sen(x). Por outro lado, para todo n finito, acho que os coeficientes do polinomio soh serao exatamente iguais aos da serie de Taylor da funcao se esta for uma funcao polinomial, apesar de se aproximarem destes a medida que n cresce. Verifique os coeficientes acima com precisao grande o suficiente e acho que voce vai ver que eles nao sao exatamente iguais a 1/120, 0, -1/6, 0, 1, 0, mas com certeza devem ser proximos o suficiente para 99% das aplicacaoes praticas. Eu digo isso porque tem um teorema que diz que se uma sequencia de polinomios definidos num intervalo fechado tende a um limite que nao eh uma funcao polinomial, entao o grau dos polinomios da sequencia tende a infinito. []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
