RE: [obm-l] cococolegio navalvalval

Rogï¿½rio Moraes de Carvalho Thu, 13 May 2004 12:33:32 -0700

Olï¿½ Leandro,

        Eu nï¿½o tenho acesso ï¿½s provas dos exames passados do Colï¿½gio Naval,
porï¿½m eu acredito que o Pacini esteja correto. Principalmente, porque se o
problema estiver pedindo o valor da expressï¿½o 1/M^3 + 1/N^2, entï¿½o nï¿½o hï¿½
alternativa alguma que satisfaï¿½a o problema, mesmo que uma das soluï¿½ï¿½es seja
aproximadamente igual a 970. Mas, se o problema estiver pedindo o valor da
expressï¿½o 1/M^3 + 1/N^3, entï¿½o o resultado ï¿½ igual a exatamente 970
(Alternativa A).



        De qualquer modo, vamos supor que o problema tenha pedido o valor da
expressï¿½o 1/M^3 + 1/N^2. Neste caso, a expressï¿½o produz resultados
diferentes dependendo da escolha das raï¿½zes que representarï¿½o M e N,
respectivamente. Vamos ï¿½ resoluï¿½ï¿½o "braï¿½al" do problema neste caso.

**********************************
Cï¿½LCULO DA EXPRESSï¿½O 1/M^3 + 1/N^2
**********************************
Calculando as raï¿½zes da equaï¿½ï¿½o X^2 - 10X + 1 = 0, encontramos:
X1 = 5 - 2.sqr(6) e X2 = 5 + 2.sqr(6)

Primeira soluï¿½ï¿½o:
-----------------
Fazendo M = X1 e N = X2, teremos
1/M^3 + 1/N^2 = 178.[3 + sqr(6)] = 970,009174215... (aproximadamente 970)

Observaï¿½ï¿½o: Nï¿½o se pode concluir que a alternativa A seja correta, pois alï¿½m
do resultado 970 ser aproximado, esta ï¿½ apenas uma das soluï¿½ï¿½es possï¿½veis.

Segunda soluï¿½ï¿½o:
----------------
Fazendo M = X2 e N = X1, teremos
1/M^3 + 1/N^2 = 178.[3 - sqr(6)] = 97,9908257852... (aproximadamente 98)

Conclusï¿½o: Se o enunciado original realmente for 1/M^3 + 1/N^2, entï¿½o esta
questï¿½o deveria ser anulada uma vez que hï¿½ duas soluï¿½ï¿½es. Mesmo que a ï¿½nica
soluï¿½ï¿½o fosse 178.[3 + sqr(6)] nï¿½o seria correto assinalar a alternativa A
como correta, a nï¿½o ser que o enunciado deixasse explï¿½cito que se deseja o
valor aproximado da expressï¿½o. Ou seja, algo como:
"Sendo M e N as raï¿½zes da equaï¿½ï¿½o X^2-10X+1=0 , o valor aproximado da
expressï¿½o 1/M^3 + 1/N^2 ï¿½:"



        Agora vamos ï¿½ soluï¿½ï¿½o do problema supondo que a expressï¿½o pedida
seja 1/M^3 + 1/N^2.

**********************************
Cï¿½LCULO DA EXPRESSï¿½O 1/M^3 + 1/N^3
**********************************
Segue a resoluï¿½ï¿½o que eu havia apresentado em uma mensagem anterior.

Colocando a expressï¿½o 1/M^3 + 1/N^3 em funï¿½ï¿½o da soma S = M + N = -b/a = 10
e do produto das raï¿½zes P = M.N = c/a = 1, teremos:

1/M^3 + 1/N^3 = (M^3 + N^3)/(M^3.N^3) = [(M + N).(M^2 - M.N + N^2]/[(M.N)^3]
= [(M + N).(M + N)^2 - 3.M.N]/[(M.N)^3] = [S.(S^2 - 3.P)]/(P^3) = [10.(10^2
- 3.1)]/(1^3) = 10.(100 - 3) = 970

Alternativa A



        Quanto aos comentï¿½rios do Paulo Santa Rita, eu nï¿½o consegui entender
a intenï¿½ï¿½o da questï¿½o proposta e nem a aplicaï¿½ï¿½o para calcular 1/M^3 + 1/N^2
no problema do Colï¿½gio Naval. Inclusive, tem alguns passos que eu nï¿½o
consegui entender, como em:
(M+N)^3 = M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2 = M^3 +3MN(M+N) + N^3
A expressï¿½o intermediï¿½ria nï¿½o deveria ser M^3 + 3(M^2)N + 3M(N^2) + N^3 ao
invï¿½s de M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2? De qualquer modo, o resultado final
ficou correto.

        Eu nï¿½o consegui entender a generalizaï¿½ï¿½o do problema e nem como esta
generalizaï¿½ï¿½o pode ser aplicada para resolver este problema especï¿½fico.

Abraï¿½os,

Rogï¿½rio Moraes de Carvalho
[EMAIL PROTECTED]

-----Original Message-----
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of leandro-epcar
Sent: quinta-feira, 13 de maio de 2004 12:08
To: obm-l
Cc: obm-l
Subject: RE: [obm-l] cococolegio navalvalval

            pacini o enunciado ï¿½ este e a resposta ï¿½ a 
letra "a"



---------- Inï¿½cio da mensagem original -----------

      De: [EMAIL PROTECTED]
    Para: [EMAIL PROTECTED]
      Cc: 
    Data: Sun, 09 May 2004 15:26:55 +0000
 Assunto: RE: [obm-l] cococolegio navalvalval

> Ola Pessoal,
> 
> Bendito erro de transcricao ! A solucao de um 
problema trivial acrescenta 
> muito pouco ao
> espirito e objetivos originais desta nossa lista.
> 
> Sem duvida e verdade que devemos apresentar os 
enunciados tal como eles 
> realmente sao,
> mas o erro de transcricao abaixo abaixo parece 
sugerir um problema MAIS 
> CONFORME o elan
> olimpico que nos inspira ...
> 
> Se M e N sao raizes da equacao X^2 - Bx + 1 = 0, B > 
2, entao para P primo, 
> existe uma forma
> sintetica ( em funcao de B ) de exprimir
> 
> f(M,N) = 1/(M^(P+1))  +  1/(N^P)  ?
> 
> Se P=2, entao, claramente :
> 
> (M+N)^2 = M^2 + 2MN + N^2 = M^2 + N^2 + 2, pois MN = 1
> (M+N)^3 = M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2 = M^3 +3MN
(M+N) + N^3
> (M+N)^2 + (M+N)^3 - 3MN(M+N) - 2 = (M^2 + N^3) + (M^3 
+ N^2)
> 
> No caso, M=1/N e M^P + 1/M^P =f(M+1/M) e M+1/M = B 
para todo P ...
> 
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 1,1222,090504
> 
> >-----Original Message-----
> >From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
[EMAIL PROTECTED] On
> >Behalf Of Pacini bores
> >Sent: sï¿½bado, 8 de maio de 2004 18:49
> >To: [EMAIL PROTECTED]
> >Subject: Re: [obm-l] cococolegio navalvalval
> >
> >
> >Olï¿½  Leandro ,
> >
> >O enunciado  correto eh :
> >   Sendo M e N as raï¿½zes da equaï¿½ï¿½o X^2-10X+1=0 , o
> >valor da expressï¿½o  1/M^3 + 1/N^3 ,  ok ?
> >
> >[]ï¿½s Pacini
> >
> >
> >
> > >     COLï¿½GIO NAVAL (1989)
> > >
> > >   Sendo M e N as raï¿½zes da equaï¿½ï¿½o X^2-10X+1=0 , o
> > >valor da expressï¿½o  1/M^3 + 1/N^2 ï¿½ :
> > >
> > >  (A) 970
> > >  (B) 950
> > >  (C) 920
> > >  (D) 900
> > >  (E) 870
> 
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RE: [obm-l] cococolegio navalvalval

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