Ola Pessoal,
Vou ver se consigo ser mais claro agora.
1) Alguem errou o enunciado de uma questao e propos o calculo de 1/(M^2) + 1/(N^3)
quando deveria ter proposto 1/(N^3) + 1/(M^3). Aqui, M e N sao raizes de uma equacao
do 2 grau.
2) Dado que (M+N)^P = M^P + ALGO MAIS + N^P => M^P + N^P = (M+N)^P - ALGO MAIS.
Dai : 1/(N^P) + 1/(M^P) = [(M+N)^P - ALGO MAIS ]/(MN)^P e que (M+N)^P, ALGO MAIS e
(MN)^P podem ser efetivamente expressos em funcao de M+N e de MN ... ACABOU
3) O Passo 2) acima, numa lista de discussao de problemas de matematica olimpica, e equivalente
a querer ensinar o PAI NOSSO pra Padre Aposentado. Logo, trivial e sem graca.
4) O erro de enunciado do passo 1) propoe uma questao que - nao obstante poder apresentar
alguma assimetria - constitui-se num problema digno de figurar nesta nossa lista e e conforme a
nossa tradicao. Em x^2 - 10x + 1 = 0, como encontrar, por exemplo, 1/(M^537) + 1/(N^601),
onde M e N sao raizes.
Isso me parece uma questao interessante ... O desenvolvimento abaixo pode ajudar de alguma
forma :
Sejam N e M raizes e A e B naturais positivos. Podemos admitir que :
M^A + N^A = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN M^B + N^B = C2 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN Daqui : (M^A + N^B) + (M^B + N^A ) = C1 + C2 = efetivamente calculavel
Mas (M^A+N^B)(M^B +N^A) = M^(A+B) + (MN)^A + (MN)^B + N^(A+B) como M^(A+B) + N^(A+B) = (M+N)^(A+B) - ALGO MAIS = efetivamente calculavel, entao :
(M^A+N^B)(M^B +N^A) = C3 = efetivamente calculavel
Fazendo M^A + N^B = D e M^B + N^A = E
D + E = C1 + C2 DE = C3 => D e E sao efetivamente calculaveis.
Por lado, de : M^A + N^A = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN M^B + N^B = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN Vem que C1*C2 = M^(A+B) + (M^A)(N^B) + (M^B)(N^A) + N^(A+B) => (M^A)(N^B) + (M^B)(N^A) = C1*C2 - [ M^(A+B) + N^(A+B) ] = C4 = efetivamente calculavel e :
(M^A)(N^B)*(M^B)(N^A) = (MN)^(A+B) = C5 =efetivamente c alculavel
Fazendo (M^A)*(N^B) = F e (M^B)*(N^A) = G segue que : F + G = C4 FG = C5 => F e G sao efetivamente calculaveis.
Sao portanto efetivamente calculaveis D, E, F e G. Daqui :
1/(M^A) + 1/(N^B) = [N^B +M^A]/[(M^A)(N^B)]=D/F = efetivamente calculavel 1/(M^B) + 1/(N^A) = [N^A +M^B]/[(M^B)(N^A)]=E/G = efetivamente calculavel
Evidentemente, e necessario algum cuidado adicional num passo ou outro. Mas isso e de
somenos interesse e deixamos ao Dr Pangloss, para que ele mostre sua sapiencia e cuide
dos miiiiiinimos detalhes ...
E parabens ao colega que colocou o enunciado errado.
Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,2310,130504
From: Rog�rio Moraes de Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: RE: [obm-l] cococolegio navalvalval Date: Thu, 13 May 2004 16:14:14 -0300
Quanto aos coment�rios do Paulo Santa Rita, eu n�o consegui entender
a inten��o da quest�o proposta e nem a aplica��o para calcular 1/M^3 + 1/N^2
no problema do Col�gio Naval. Inclusive, tem alguns passos que eu n�o
consegui entender, como em:
(M+N)^3 = M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2 = M^3 +3MN(M+N) + N^3
A express�o intermedi�ria n�o deveria ser M^3 + 3(M^2)N + 3M(N^2) + N^3 ao
inv�s de M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2? De qualquer modo, o resultado final
ficou correto.
Eu n�o consegui entender a generaliza��o do problema e nem como esta generaliza��o pode ser aplicada para resolver este problema espec�fico.
Abra�os,
Rog�rio Moraes de Carvalho [EMAIL PROTECTED]
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