Olá Paulo, No Web Site da Olimpíada Brasileira de Matemática, você poderá encontrar o seguinte parágrafo que descreve a Lista de Discussão de Problemas de Matemática Olímpica: "Está aberta uma lista de discussão de problemas de Matemática Olímpica. A lista é inteiramente gratuita e encontra-se aberta a todos os alunos e professores que quiserem participar."
Existem vários níveis de Olimpíadas de Matemática no Brasil e no mundo. Eu acredito que os alunos que estão se preparando podem encontrar nesta lista um ponto de apoio. Cada um deles vai ter seus pontos fortes e fracos na Matemática, assim como qualquer um de nós. Devemos ter bom senso na hora de avaliar o que pode ser omitido numa resolução por ser óbvio e o que deve ser apresentado por não ser tão evidente. Eu entendi perfeitamente todos os passos do seu raciocínio, porém ele não é conclusivo, omite detalhes que não são nem um pouco elementares e não é suficiente nem mesmo para resolver a questão original do Colégio Naval com o enunciado incorreto. Quem sabe você não pode esclarecer OBJETIVAMENTE as questões que eu apresento nos comentários abaixo. Entenda objetivamente como: apresentado resultados completos (não parciais). "1) Alguem errou o enunciado de uma questao e propos o calculo de 1/(M^2) + 1/(N^3) quando deveria ter proposto 1/(N^3) + 1/(M^3). Aqui, M e N sao raizes de uma equacao do 2 grau." COMENTÁRIO: Apresente uma solução elegante para o problema com o enunciado errado. Quem sabe você não aplica a sua generalização do problema a este caso particular. Porém, que a resolução seja mais simples do que substituir M e N pelas raízes da equação. "2) Dado que (M+N)^P = M^P + ALGO MAIS + N^P => M^P + N^P = (M+N)^P - ALGO MAIS. Dai : 1/(N^P) + 1/(M^P) = [(M+N)^P - ALGO MAIS ]/(MN)^P e que (M+N)^P, ALGO MAIS e (MN)^P podem ser efetivamente expressos em funcao de M+N e de MN ... ACABOU" COMENTÁRIO: Apresentar um raciocínio Matemático com "ALGO MAIS" no meio de uma expressão me parece algo um tanto quanto chulo. Dizer que "(M+N)^P, ALGO MAIS e (MN)^P podem ser efetivamente expressos em funcao de M+N e de MN ... ACABOU" omite uma questão nem um pouco elementar. Na realidade (M+N)^P e (MN)^P já estão em função de M+N, MN e P. Porém, o "ALGO MAIS" que foi omitido corresponde aos termos centrais (excluindo somente os termos extremos) do desenvolvimento do Binômio de Newton e não é nem um pouco simples colocá-los em função de M + N, MN e P. Como você colocou como elementar esta passagem, por favor, nos apresente o seu raciocínio matemático e APRESENTE uma fórmula geral que permita calcular M^P + N^P em função de M + N, MN e P. "3) O Passo 2) acima, numa lista de discussao de problemas de matematica olimpica, e equivalente a querer ensinar o PAI NOSSO pra Padre Aposentado. Logo, trivial e sem graca." COMENTÁRIO: Infelizmente, apesar de já ter resolvidos vários problemas de Olimpíadas de Matemática, eu ainda não consegui encontrar uma maneira SIMPLES de deduzir M^P + N^P em função de M + N, MN e P. Porque você não compartilha a sua dedução elementar conosco. "4) O erro de enunciado do passo 1) propoe uma questao que - nao obstante poder apresentar alguma assimetria - constitui-se num problema digno de figurar nesta nossa lista e e conforme a nossa tradicao. Em x^2 - 10x + 1 = 0, como encontrar, por exemplo, 1/(M^537) + 1/(N^601), onde M e N sao raizes." COMENTÁRIO: Eu estou ansioso para ver o valor de 1/(M^537) + 1/(N^601), sendo M e N raízes da equação x^2 - 10x + 1 = 0. Qual é o resultado desta expressão? Por favor, apresente as duas soluções possíveis para o problema. "Isso me parece uma questao interessante... O desenvolvimento abaixo pode ajudar de alguma forma:" COMENTÁRIO: Quer dizer que o desenvolvimento apresentado não resolve a questão que você propôs? "Sejam N e M raizes e A e B naturais positivos. Podemos admitir que: M^A + N^A = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN M^B + N^B = C2 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN Daqui : (M^A + N^B) + (M^B + N^A ) = C1 + C2 = efetivamente calculavel" COMENTÁRIO: Na realidade, M^A + N^A = C1 pode ser calculado em função de M + N, MN e "A" e M^B + N^B = C2 pode ser calculado em função de M + N, MN e "B". Por favor, prove a sua afirmação MOSTRANDO a expressão de M^A + N^A em função de M + N, MN e A. COMENTÁRIO DO RESTANTE DO RACIOCÍNIO: Será que os jurados de uma Olimpíada de Matemática aceitariam o desenvolvimento de um raciocínio matemático com a omissão de vários passos essenciais e com expressões como "ALGO MAIS" e "efetivamente calculável"? Deste modo, seria simples demonstrar um teorema, bastando para isto omitir partes da demonstração e utilizar um "ALGO MAIS" ou um "efetivamente calculável". Quem sabe o Morgado, que já foi membro do Jurado Internacional na 34ª Olimpíada Internacional de Matemática, realizada em Istambul em 1993, não poderia nos esclarecer esta dúvida. Abraços, Rogério Moraes de Carvalho -----Original Message----- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Paulo Santa Rita Sent: quinta-feira, 13 de maio de 2004 23:12 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] cococolegio navalvalval Ola Pessoal, Vou ver se consigo ser mais claro agora. 1) Alguem errou o enunciado de uma questao e propos o calculo de 1/(M^2) + 1/(N^3) quando deveria ter proposto 1/(N^3) + 1/(M^3). Aqui, M e N sao raizes de uma equacao do 2 grau. 2) Dado que (M+N)^P = M^P + ALGO MAIS + N^P => M^P + N^P = (M+N)^P - ALGO MAIS. Dai : 1/(N^P) + 1/(M^P) = [(M+N)^P - ALGO MAIS ]/(MN)^P e que (M+N)^P, ALGO MAIS e (MN)^P podem ser efetivamente expressos em funcao de M+N e de MN ... ACABOU 3) O Passo 2) acima, numa lista de discussao de problemas de matematica olimpica, e equivalente a querer ensinar o PAI NOSSO pra Padre Aposentado. Logo, trivial e sem graca. 4) O erro de enunciado do passo 1) propoe uma questao que - nao obstante poder apresentar alguma assimetria - constitui-se num problema digno de figurar nesta nossa lista e e conforme a nossa tradicao. Em x^2 - 10x + 1 = 0, como encontrar, por exemplo, 1/(M^537) + 1/(N^601), onde M e N sao raizes. Isso me parece uma questao interessante ... O desenvolvimento abaixo pode ajudar de alguma forma : Sejam N e M raizes e A e B naturais positivos. Podemos admitir que : M^A + N^A = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN M^B + N^B = C2 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN Daqui : (M^A + N^B) + (M^B + N^A ) = C1 + C2 = efetivamente calculavel Mas (M^A+N^B)(M^B +N^A) = M^(A+B) + (MN)^A + (MN)^B + N^(A+B) como M^(A+B) + N^(A+B) = (M+N)^(A+B) - ALGO MAIS = efetivamente calculavel, entao : (M^A+N^B)(M^B +N^A) = C3 = efetivamente calculavel Fazendo M^A + N^B = D e M^B + N^A = E D + E = C1 + C2 DE = C3 => D e E sao efetivamente calculaveis. Por lado, de : M^A + N^A = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN M^B + N^B = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN Vem que C1*C2 = M^(A+B) + (M^A)(N^B) + (M^B)(N^A) + N^(A+B) => (M^A)(N^B) + (M^B)(N^A) = C1*C2 - [ M^(A+B) + N^(A+B) ] = C4 = efetivamente calculavel e : (M^A)(N^B)*(M^B)(N^A) = (MN)^(A+B) = C5 =efetivamente c alculavel Fazendo (M^A)*(N^B) = F e (M^B)*(N^A) = G segue que : F + G = C4 FG = C5 => F e G sao efetivamente calculaveis. Sao portanto efetivamente calculaveis D, E, F e G. Daqui : 1/(M^A) + 1/(N^B) = [N^B +M^A]/[(M^A)(N^B)]=D/F = efetivamente calculavel 1/(M^B) + 1/(N^A) = [N^A +M^B]/[(M^B)(N^A)]=E/G = efetivamente calculavel Evidentemente, e necessario algum cuidado adicional num passo ou outro. Mas isso e de somenos interesse e deixamos ao Dr Pangloss, para que ele mostre sua sapiencia e cuide dos miiiiiinimos detalhes ... E parabens ao colega que colocou o enunciado errado. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,2310,130504 >From: Rogério Moraes de Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: RE: [obm-l] cococolegio navalvalval >Date: Thu, 13 May 2004 16:14:14 -0300 >Quanto aos comentários do Paulo Santa Rita, eu não consegui entender >a intenção da questão proposta e nem a aplicação para calcular 1/M^3 + >1/N^2 >no problema do Colégio Naval. Inclusive, tem alguns passos que eu não >consegui entender, como em: >(M+N)^3 = M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2 = M^3 +3MN(M+N) + N^3 >A expressão intermediária não deveria ser M^3 + 3(M^2)N + 3M(N^2) + N^3 ao >invés de M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2? De qualquer modo, o resultado final >ficou correto. > > Eu não consegui entender a generalização do problema e nem como esta >generalização pode ser aplicada para resolver este problema específico. > >Abraços, > >Rogério Moraes de Carvalho >[EMAIL PROTECTED] _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================