[obm-l] Re: [obm-l] cálculo no R^n

[Ronaldo Luiz Alonso]

--------------------- 2) Seja f: R^n --> R^n dada por f(x) = <x,x>.x. Mostre que f � de classe C infinito e que leva a bola unit�ria B(0;1) sobre si mesma injetivamente. Mostre que, entretanto, a aplica��o inversa n�o � diferenci�vel na origem.       Neste caso se x \in B(0;1) ent�o <x,x> = ||x|| e 0<||x|| < 1.   Logo a aplica��o � uma contra��o de x.      A contra��o � diferenci�vel e de classe C^{\infty}. � mais ou menos intuitivo que neste caso a aplia��o seja injetiva.  Por exemplo: Vetores pr�ximos da fronteira tem norma 1 e portanto ser�o "pouco contra�dos".     Assim a demonstra��o de injetividade usa esse fato, isto �, se tomarmos um ponto x pr�ximo pr�ximo da fronteira, podemos sempre escolher um f^{-1}(x) tal que f composto com f^{-1}(x) = x e vice versa.         Como ||x|| � sempre   menor que 1 esses pontos tem que ser diferentes.        Para entender por que a aplica��o n�o � diferenci�vel na origem basta notar que "quanto mais perto o vetor estiver da origem mais contra�do ser�" na aplica��o direta.   (reciprocamente na aplica��o inversa mais expandido ser�).       A origem � uma esp�cie de "buraco negro ao contr�rio" logo n�o pode ter derivada l�. Argumentos do teorema de fun��o impl�cita podem ajudar.      Novamente sem rigor... apenas com id�ias.   []s Ronaldo L. Alonso