Deixa eu ver se n�o me atrapalho... Se a(n) converge, significa que, para um n suficientemente grande, a(n+1) = a(n) = k. Isto �: x^a(n)=a(n) => x^k=k
Assim: x^k = k k*ln(x) = ln(k) => ln(x) = ln(k)/k Sabemos que para um x muito grande a sequ�ncia diverge, ent�o a pergunta �: qual � o maior x poss�vel? Pelo racioc�nio anterior sabemos que x deve obedecer a rela��o ln(x) = ln(k)/k, onde k � o valor para onde a sequencia converge. Podemos usar esta express�o para procurar o valor m�ximo de x porque a fun��o ln(x) � mon�tona e crescente para qq x positivo. Em outras palavras: o valor m�ximo de ln(x) corresponde tamb�m ao valor m�ximo de x. Assim: y = ln(x) = ln(k)/k . Buscamos o m�ximo de y(k) = ln(k)/k : dy/dk = 1/x^2 - ln(x)/x^2 = 0 => 1/x^2 - ln(x)/x^2 => ln(k) = 1 => k = e Para determinar x, temos: y_max=ln(x_max)=ln(e)/e = 1/e ln(x_max) = 1/e => x_max = e^(1/e) Ou seja: x_max = e^(1/e) e a sequencia converge, neste caso, para k=e. Ser� que � isso? []�s Dem�trio --- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Esse tamb�m � um belo problema: > > Prove que se a(1) = x > 0 e a(n+1) = x^a(n), para n > >= 1, ent�o a sequ�ncia ((a(n)) converge se e > somente se x <= e^(1/e). > > []s, > Claudio. > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:[email protected] > > C�pia: > > Data:Wed, 18 May 2005 00:53:25 +0000 > > Assunto:Re:[obm-l] Transcendentes - forma > definitiva. > > > Oi Claudio e demais colegas > > desta lista ... OBM-L, > > > > Resposta correta. > > > > Em linhas gerais, a historia do problema e a > seguinte : alguem resolveu um > > problema mostrando que haviam duas respostas > possiveis, uma das quais > > deveria ser falsa. Uma estudante reclamou querendo > saber a opcao correta. Eu > > invoquei o teorema do Gelfond e identifiquei a > resposta correta : > > > > Gelfond => raiz(2)^raiz(2) e transcendente => e > irracional > > > > E entao resolvi construir explicitamente uma > sequencia de numeros > > transcendentes que tinha como limite um numero > natural. Aqui entrou o GUGU, > > reclamando que mesmo nao sabendo provar a > transcendencia, nao haviam > > hipoteses suficientes para postular tal > transcendencia. A reclamacao dele, > > correta e justificavel, era implicitamente a > proposicao de um problema : > > este problema abaixo, onde voce ensaia uma solucao > ... > > > > Voce faz a observacao basica e fundamental : > fixando a "base", o restante ( > > o expoente ) tende para o mesmo limite. Dai, na > sua linguagem, r=t^r. Daqui > > sai tranquilo o resto. Note que se voce faz uma > tal passagem perante algumas > > assembleias que amam o detalhe, muito > provavelmente voce sera linchado e > > execrado... Eu sempre achei notavel a capacidade > de algumas pessoas de > > essencializar > > o trivial e trivializar o essencial. Mas elas > existem. E sao muitas ! > > > > Note tambem que o pulo logico final precisa ser > conectado com o "e" as > > demais hipoteses. > > > > Quer descobrir algo que vai lhe surpreender ? > Mantenha do lado esquerdo do > > cerebro o numero e=2,71... Com o lado direito > estude as sequencias da forma > > X^X^X^... QUE CONVERGEM. Procure descobrir algo > equivalente a um "raio de > > convergencia". > > > > E com os melhores votos > > de paz profunda, sou > > > > Paulo Santa Rita > > 3,2154,170505 > > > > >From: "claudio.buffara" > > >Reply-To: [email protected] > > >To: "obm-l" > > >Subject: Re:[obm-l] Transcendentes - forma > definitiva. > > >Date: Tue, 17 May 2005 13:47:18 -0300 > > > > > > > Ola Pessoal desta > > > > lista ... OBM-L, > > > > > > > > Esse problema e antigo, bonito e foi proposto > aqui nesta lista - se nao > > >me > > > > falha a memoria - pelo Prof Carlos Gustavo > (GUGU), em uma forma menos > > >geral. > > > > Peco desculpas a todos por tantas correcoes. > > > > > > > > Seja T um transcendente da forma i^i, onde i e > um irracional algebrico. > > > > Definimos a sequencia : > > > > > > > > A(1) = T > > > > A(N+1) = T^A(N) > > > > > > > > Se LIM A(N)=r, r racional, Considere a > afirmacao : "Existe N, N > > > > suficientemente grande, tal que A(N) e > algebrico". Voce consegue provar > > >ou > > > > refutar esta afirmacao ? Note que nao e > possivel aplicar, DIRETAMENTE, o > > > > teorema de Gelfond. > > > > > > > > Um Abraco a Todos > > > > Paulo Santa Rita > > > > 3,1242,170505 > > > > > > > > > > >Oi, Paulo: > > > > > >Se lim A(n) existe e � igual ao racional r, ent�o > lim A(n+1) = r. > > >Portanto, teremos: r = t^r ==> > > >t = r^(1/r) = alg�brico ==> > > >contradi��o, pois estamos supondo que t � > transcendente. > > > > > >Logo, ou lim A(n) n�o existe ou existe mas � > irracional. > > > > > >Assim, a senten�a: > > >lim A(n) � racional ==> A(N) � alg�brico para > algum N suficientemente > > >grande > > >� verdadeira, j� que a sua premissa � falsa. > > > > > >Era isso o que voc� tinha em mente? > > > > > >[]s, > > >Claudio. > > > __________________________________________________ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
